Question

（2011•武漢模擬）已知函數(shù)f(x)=sin(2x+

π

4

)cosφ+cos(2x+

π

4

)sinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）的圖象關于直線x=

π

6

對稱．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

2

，0]上的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)的表達式，通過x=

π

6

時函數(shù)取得最值，結合0＜φ＜π，即可求φ的值；
（Ⅱ）結合第一問，x∈[-

π

2

，0]，求出2x+

7π

6

的范圍，然后求出函數(shù)的最小值．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f(x)=sin(2x+

π

4

)cosφ+cos(2x+

π

4

)sinφ=sin(2x+

π

4

+φ)，
因為函數(shù)的圖象關于直線x=

π

6

對稱，所以2×

π

6

+

π

4

+φ=kπ+

π

2

，k∈Z，
因為0＜φ＜π，所以φ=

11π

12

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f(x)=sin(2x+

7π

6

)，因為x∈[-

π

2

，0]，
則2x+

7π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，當2x+

7π

6

=

7π

6

時，函數(shù)取得最小值：-

1

2

．

點評：本題是中檔題，考查兩角和的正弦函數(shù)的應用，已知三角函數(shù)的角的范圍，求解函數(shù)的最小值的方法，考查計算能力．