Question

（2012•江西模擬）設(shè)函數(shù)f（x）=xsinx（x∈R）則f（log 

1

2

16），f（

4π

3

），f（

5π

4

）的大小關(guān)系為

f（

4π

3

）＜f（log 

1

2

16）＜f(

5π

4

)

（用“＜”連接）

Answer 1

分析：利用f′（x）=sinx+xcosx，利用f′（

4π

3

）＜0，可分析出f（x）在（π，

4π

3

]上單調(diào)遞減，從而使問題解決．

解答：解：∵f（-x）=-xsin（-x）=xsinx=f（x），
∴f（x）=xsinx為偶函數(shù)．
又log 

1

2

16=log

1

2

(

1

2

)-4=-4，
∴f（log 

1

2

16）=f（-4）=f（4）；
∵f′（x）=sinx+xcosx，
∴當(dāng)∈（π，

3π

2

）時(shí)，sinx＜0，cosx＜0，
∴f′（x）=sinx+xcosx＜0，
∴f（x）在（π，

3π

2

]上單調(diào)遞減，
又f′（

4π

3

）=sin

4π

3

+

4π

3

cos

4π

3

=-

3

2

-

1

2

×

4π

3

＜0，
∴當(dāng)

3π

2

＜x≤

4π

3

，f′（x）＜0，
綜上所述，當(dāng)π＜x≤

4π

3

時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在（π，

4π

3

]上單調(diào)遞減．
∵π＜

5π

4

＜4＜

4π

3

，
∴f（

5π

4

）＞f（4）＞f（

4π

3

）；
故答案為：f（

4π

3

）＜f（log 

1

2

16）＜f（

5π

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式比較大小，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)分析得到f（x）在（π，

4π

3

]上單調(diào)遞減是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，屬于難題．