Question

已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是邊長(zhǎng)為1的正方體，求：
（1）直線AC₁與平面AA₁B₁B所成角的正切值；
（2）二面角B-AC₁-B₁的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)其為正方體得到∠C₁AB₁就是AC₁與平面AA₁B₁B所成的角；然后在RT△C₁AB₁中求其正切即可；
（2）先過(guò)B₁作B₁E⊥BC₁于E，過(guò)E作EF⊥AC₁于F，連接B₁F；根據(jù)AB⊥平面B₁C₁CB推得B₁E⇒AC₁；進(jìn)而得到∠B₁FE是二面角B-AC₁-B₁的平面角；然后通過(guò)求三角形的邊長(zhǎng)得到二面角B-AC₁-B₁的大小即可．
解答：解：（1）連接AB₁，∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體
∴B₁C₁⊥平面ABB₁A₁，AB₁是AC₁在平面AA₁B₁B上的射影
∴∠C₁AB₁就是AC₁與平面AA₁B₁B所成的角
在RT△C₁AB₁中，tan∠C₁AB₁==
∴直線AC₁與平面AA₁B₁B所成的角的正切值為
（2）過(guò)B₁作B₁E⊥BC₁于E，過(guò)E作EF⊥AC₁于F，連接B₁F；
∵AB⊥平面B₁C₁CB，⇒AB⊥B₁E⇒B₁E⇒平面ABC₁⇒B₁E⇒AC₁
∴∠B₁FE是二面角B-AC₁-B₁的平面角
在RT△BB₁C₁中，B₁E=C₁E=BC₁=，
在RT△ABC₁中，sin∠BC₁A==
∴EF=C₁E•sin∠BC₁A=，
∴tan∠B₁FE==
∴∠B₁FE=60°，即二面角B-AC₁-B₁的大小為60°．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考察線面角以及二面角的平面角及其求法．解決二面角的平面角及求法的關(guān)鍵在于把二面角的平面角找出來(lái)或做出來(lái)，常用的做法是三垂線法．