Question

橢圓

x2

16

+

y2

4

=1上的點(diǎn)到直線x+2y-

2

=0的最大距離是

10

．

Answer 1

分析：利用橢圓的參數(shù)方程來解，根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到橢圓的參數(shù)方程，所以可設(shè)橢圓上的任意一點(diǎn)坐標(biāo)為（4cosα，2sinα），代入點(diǎn)到直線的距離公式，化簡(jiǎn)為一角一函數(shù)．再根據(jù)正弦函數(shù)的有界性求出最大值即可．

解答：解：∵橢圓方程為

x2

16

+

y2

4

=1，
∴可設(shè)橢圓上的任意一點(diǎn)P坐標(biāo)為（4cosα，2sinα）
∴P到直線x+2y-

2

=0的距離d=

|4cosα+2×2sinα- 2|

12+22

=

|4 2 sin(α+ π 4 )- 2|

5

∵-4

2

≤4 

2

sin(α+

π

4

)≤4

2

∴

3 10

5

≤

|4 2 sin(α+ π 4 )- 2|

5

≤

10

∴d的最大值為

10

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與橢圓位置關(guān)系中，橢圓上點(diǎn)到直線的距離的最值的求法，此類題的關(guān)鍵再與引入一個(gè)參數(shù)，用參數(shù)表示點(diǎn)到直線的距離，再根據(jù)參數(shù)的范圍求距離的最值，經(jīng)常用到的方法是利用橢圓的參數(shù)方程．