Question

（1）不等式|2x-1|-|x+2|≥1的解集

(-∞，-

2

3

]∪[4，+∞)

．
（2）方程ρ=cosθ與

x=t+ 1 t y=t- 1 t

（t為參數(shù)）分別表示何種曲 線

圓，雙曲線

．
（3）如圖，AB，CD是半徑為a的圓O的兩條弦，它們相交于AB的中點P，PD=

2a

3

，∠OAP=30°，則CP=

9a

8

．

Answer 1

分析：（1）由|2x-1|-|x+2|≥1，利用零點分段討論法，能夠求出其解集．
（2）先把ρ=cosθ和

x=t+ 1 t y=t- 1 t

（t為參數(shù)），化成普通方程，再進行判斷．
（3）利用相交弦定理和垂徑定理進行求解．

解答：解：（1）在|2x-1|-|x+2|≥1中，
由2x-1=0，得x=

1

2

；由x+2=0，得x=-2．
①當x＞

1

2

時，原不等式等價于2x-1-x-2≥1，
∴x≥4．
②當-2≤x＜

1

2

時，原不等式等價于1-2x-x-2≥1，
∴-2≤x≤-

2

3

．
③當x＜-2時，原不等式等價于1-2x+x+2≥1，
∴x＜-2．
綜上所述，|2x-1|-|x+2|≥1的解集是(-∞，-

2

3

]∪[4，+∞)．
故答案為：(-∞，-

2

3

]∪[4，+∞)．
（2）∵ρ=cosθ，
∴ρ²=ρcosθ，
∴x²+y²-x=0，
故ρ=cosθ是圓．
∵

x=t+ 1 t y=t- 1 t

（t為參數(shù)），
∴x2-2=t2+

1

t2

，y2+2=t2+

1

t2

，
∴x²-y²=4，
故

x=t+ 1 t y=t- 1 t

（t為參數(shù)）是雙曲線．
故答案為：圓，雙曲線．
（3）如圖，∵AB，CD是半徑為a的圓O的兩條弦，
它們相交于AB的中點P，PD=

2a

3

，∠OAP=30°，
∴∠OPA=90°，AP=BP=

3

2

a，
∵AP•BP=CP•DP，
∴CP=

AP•BP

DP

=

3 2 a• 3 2 a

2a 3

=

9a

8

．
故答案為：

9a

8

．

點評：第（1）題考含絕對值不等式的解法及其應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意分類討論思想的合理運用．
第（2）題考查參數(shù)方程的性質(zhì)和應用，解題時要合理地化參數(shù)方程為普通方程．
第（3）題考查與圓有關的比例線段的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意相交弦定理和垂徑定理的靈活運用．