Question

【題目】已知函數(shù)（常數(shù)）.

（1）證明:當時,函數(shù)有且只有一個極值點；

（2）若函數(shù)存在兩個極值點,證明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）均見解析.

【解析】

試題分析：（1）求導得，令，則，當時，討論函數(shù)的符號，可得在有且只有一個零點,所以函數(shù)在有且只有一個極值點；（2）函數(shù)存在兩個極值點,則,是的兩個零點，且由（1）知，必有,討論的符號可得在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減,又因為，所以有，由，得,此時，通過導數(shù)研究的單調(diào)性得在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減,所以,.

試題解析：依題意，

令，則.

（1）①當時，，所以無解，則函數(shù)不存在大于零的極值點；

②當時，由，故在單調(diào)遞增.又，

所以在有且只有一個零點.

又注意到在的零點左側(cè)，，在的零點右側(cè)，，

所以函數(shù)在有且只有一個極值點.

綜上所述，當時，函數(shù)在內(nèi)有且只有一個極值點.

（2）因為函數(shù)存在兩個極值點（不妨設(shè)），

所以,是的兩個零點，且由（1）知，必有.

令得；

令得；

令得.

所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

又因為，

所以必有.

令，解得，

此時.

因為是的兩個零點，

所以，.

將代數(shù)式視為以為自變量的函數(shù)

則.

當時，因為，所以，

則在單調(diào)遞增.

因為，所以，

又因為，所以.

當時，因為，所以，

則在單調(diào)遞減，

因為，所以.

綜上知，且．．