Question

（2012•汕頭一模）有以下四個命題：
①△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要條件；
②若命題p：?x∈R，sinx≤1，則?p：?x∈R，sinx＞1；
③不等式10^x＞x²在（0，+∞）上恒成立；
④設(shè)有四個函數(shù)y=x^-1，y=x

1

2

，y=x

1

3

，y=x³，其中在（0，+∞）上是增函數(shù)的函數(shù)有3個．
其中真命題的序號是（　　）

A．③④

B．①④

C．①③④

D．②③

Answer 1

分析：三角形中，大邊對大角以及正弦定理得到“A＞B”?a＞b?2RsinA＞2RsinB?sinA＞sinB，判定出①正確；
根據(jù)含量詞的命題的否定規(guī)則判定出②不正確；
通過構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求出y=10^x-x²＞1，進(jìn)一步能判定出③正確；
根據(jù)5個常見冪函數(shù)的圖象得到函數(shù)y=x^-1在（0，+∞）上是函減數(shù)；函數(shù)y=x

1

2

，y=x

1

3

，y=x³在（0，+∞）上是增函數(shù)，得到④正確．

解答：解：對于①，△ABC中，因?yàn)椤癆＞B”?a＞b?2RsinA＞2RsinB?sinA＞sinB，
所以①△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要條件，
所以①正確；
對于②，若命題p：?x∈R，sinx≤1，則?p：?x∈R，sinx＞1；
所以②不正確；
對于③，令y=10^x-x²，y′=10^xln10-2x，y″=10^xln10ln10-2，
所以y″＞0，所以y′=10^xln10-2x在（0，+∞）上是增函數(shù)
所以y′＞0，所以y=10^x-x²在（0，+∞）上是增函數(shù)，所以y=10^x-x²＞1，所以10^x＞x²在（0，+∞）上恒成立
所以③正確
對于④，函數(shù)y=x^-1在（0，+∞）上是函減數(shù)；函數(shù)y=x

1

2

，y=x

1

3

，y=x³在（0，+∞）上是增函數(shù)
所以④正確．
函數(shù)y=x^-1在（0，+∞）上是函減數(shù)；函數(shù)y=x

1

2

，y=x

1

3

，y=x³在（0，+∞）上是增函數(shù)
故選C．

點(diǎn)評：本題考查三角形的正弦定理；含量詞的命題的否定規(guī)則：量詞交換，結(jié)論否定；導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系：導(dǎo)函數(shù)為負(fù)函數(shù)單減，導(dǎo)函數(shù)為正函數(shù)單增，是一道綜合題．