Question

已知f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）在x=±1時(shí)取得極值，且f（1）=-1，
（1）試求常數(shù)a、b、c的值；
（2）試判斷x=±1是函數(shù)的極大值還是極小值，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）是實(shí)數(shù)域上的可導(dǎo)函數(shù)，可先求導(dǎo)確定可能的極值點(diǎn)，再通過極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，即極值點(diǎn)必為f′（x）=0的根建立起由極值點(diǎn)x=±1所確定的相關(guān)等式，運(yùn)用待定系數(shù)法確定a、b、c的值．
（2）求出f′（x）并分解因式討論x的取值決定f′（x）的正負(fù)研究函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值．

解答：（1）解：由f′（1）=f′（-1）=0，
得3a+2b+c=0，①
3a-2b+c=0．②
又f（1）=-1，∴a+b+c=-1．③
由①②③解得a=

1

2

，b=0，c=-

3

2

．
（2）解：f（x）=

1

2

x³-

3

2

x，∴f′（x）=

3

2

x²-

3

2

=

3

2

（x-1）（x+1）．
當(dāng)x＜-1或x＞1時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0．
∴x=-1時(shí)，f（x）有極大值；x=1時(shí)，f（x）有極小值．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，以及用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的能力．