Question

10．在平面區(qū)域$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4≤0}\\{x＞0}\\{y＞0}\end{array}\right.$內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)（a，b），則函數(shù)f（x）=ax²-4bx+1在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率為（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，根據(jù)概率的幾何概型的概率公式進(jìn)行計(jì)算即可得到結(jié)論．

解答 解：作出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4≤0}\\{x＞0}\\{y＞0}\end{array}\right.$對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：

對(duì)應(yīng)的圖形為△OAB，其中對(duì)應(yīng)面積為S=$\frac{1}{2}$×4×4=8，
若f（x）=ax²-4bx+1在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，
則滿足a＞0且對(duì)稱軸x=-$\frac{-4b}{2a}$≤1，
即 $\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a≥2b}\end{array}\right.$，對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)椤鱋BC，
由 $\left\{\begin{array}{l}{a=2b}\\{a+b-4=0}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{8}{3}}\\{b=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴對(duì)應(yīng)的面積為S₁=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$×4=$\frac{8}{3}$，
∴根據(jù)幾何概型的概率公式可知所求的概率為$\frac{\frac{8}{3}}{8}$=$\frac{1}{3}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查幾何概型的概率公式的計(jì)算，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域是解決本題的關(guān)鍵．