Question

如圖，橢圓C：

x2

36

+

y2

20

=1的左頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)分別為A，F(xiàn)，直線l的方程為x=9，N為l上一點(diǎn)，且在x軸的上方，AN與橢圓交于M點(diǎn)
（1）若M是AN的中點(diǎn)，求證：MA⊥MF．
（2）過(guò)A，F(xiàn)，N三點(diǎn)的圓與y軸交于P，Q兩點(diǎn)，求|PQ|的范圍．

Answer 1

分析：（1）欲證MA⊥MF，只需證明

MA • MF =0

，分別求出

MA

，

MF

的坐標(biāo)，再用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可．
（2）欲求|PQ|的范圍，需先將|PQ|用某個(gè)參數(shù)表示，再求最值，可先找到圓心坐標(biāo)和半徑，再利用圓中半徑，半弦，弦心距組成的直角三角形，得到用參數(shù)表示的|PQ|，再用均值不等式求范圍．

解答：解：（1）由題意得A（-6，0），F(xiàn)（4，0），x_N=9∴xM=

3

2

又M點(diǎn)在橢圓上，且在x軸上方，得yM=

5 3

2

∴ MA =(- 15 2 ，- 5 3 2 )， MF =( 5 2 ，- 5 3 2 ) ∴ MA • MF =- 75 4 + 75 4 =0 ∴MA⊥MF

（2）設(shè)N（9，t），其中t＞0，∵圓過(guò)A，F(xiàn)，N三點(diǎn)，
∴設(shè)該圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，有

36-6D+F=0 16+4D+F=0 81+t2+9D+tE+F=0

解得 D=2，E=-t-

75

t

，F(xiàn)=-24
∴圓心為(-1，

1

2

(t+

75

t

))，半徑r=

25+ 1 4 (t+ 75 t )2

∴|PQ|=2

r2-1

=2

24+ 1 4 (t+ 75 t )2

，
∵t＞0∴t+

75

t

≥2

t• 75 t

=10

3

，當(dāng)且僅當(dāng)t=

75

t

，即t=5

3

時(shí)取“=”
∴|PQ|≥2

99

=6

11

，∴|PQ|的取值范圍是[6

11

，+∞)

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓與圓之間的關(guān)系，其中圓中弦長(zhǎng)的求法必須掌握．