Question

設雙曲線xy=1的兩支為C₁，C₂（如圖），正三角形PQR的三頂點位于此雙曲線上．
（1）求證：P、Q、R不能都在雙曲線的同一支上；
（2）設P（-1，-1）在C₂上，Q、R在C₁上，求頂點Q、R的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）設某個正三角形的三個頂點都在同一支上，此三點坐標為P（），O（），R（），則，由此導出tan∠POR＜0，從而∠POR為鈍角，即△POR不可能是正三角形．
（2）P（-1，-1），設O（），點P在直線y=x上，以P為圓心，|PO|為半徑作圓，此圓與雙曲線第一象限內(nèi)的另一交點R滿足|PO|=|PR|，由圓與雙曲線都與y=x對稱，知O與R關(guān)于y=x對稱，且在第一象限內(nèi)此兩條曲線沒有其他交點（二曲線的交點個數(shù)），于是R（，x₂），由此能夠求出頂點Q、R的坐標．
解答：（1）證明：設某個正三角形的三個頂點都在同一支上，
此三點坐標為P（），O（），R（），
則，
k_PO==-，k_PR==-，
tan∠POR=＜0，
從而∠POR為鈍角，即△POR不可能是正三角形．
所以P、Q、R不能都在雙曲線的同一支上．
（2）解：P（-1，-1），設O（），點P在直線y=x上，
以P為圓心，|PO|為半徑作圓，
此圓與雙曲線第一象限內(nèi)的另一交點R滿足|PO|=|PR|，
由圓與雙曲線都與y=x對稱，
知O與R關(guān)于y=x對稱，
且在第一象限內(nèi)此兩條曲線沒有其他交點（二曲線的交點個數(shù)），
于是R（，x₂），
∴PO與y=x的夾角等于30°，PO所在直線的傾斜角等于75°，
tan75°==2+．
PO所在的直線方程為y+1=（2+）（x+1），
代入xy=1，
解得O（2-，2+），于是R（2+，2-）．
點評：本題考查三點不能都在雙曲線的同一支上的證明，考查雙曲線頂點坐標的求法，難度大，綜合性強，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．