Question

一自來水廠擬建一座平面圖形為矩形、面積為200平方米的凈水處理池，該池的深度為1米，池的四周內壁建造單價為每平方米400元，池底建造單價為每平方米60元，在該水池長邊的正中間設置一個隔層，將水池分成左右兩個小水池，該隔層建造單價為每平方米100元，池壁厚度忽略不計．
（1）凈水池的長度設計為多少米時，可使總造價最低？
（2）如長寬都不能超過14.5米，那么此凈水池的長為多少時，可使總造價最低？

Answer 1

解：（1）設水池的長為x米，則寬為米．
總造價：==36000
當且僅當時，等號成立，
故當凈水池的長為15米時，總造價最低．
（2）由已知，長不能超過14.5米，而15＞14.5，故長度值取不到15，從而不能利用基本不等式求最值，轉而考慮利用函數的單調性．
考慮條件，
設，利用函數單調性，
易知上為減函數，
因此，當時，y_min=36013.8元，故當x=14.5米時，總造價最低．
分析：（1）凈水池的底面積一定，長為x米，則寬可表示出來，從而得出總造價f（x），利用基本不等式求出最小值；
（2）由長和寬的限制條件，得自變量x的范圍，判斷總造價函數f（x）在x的取值范圍內的函數值變化情況，求得最小值．
點評：本題考查了建立函數解析式，利用基本不等式求函數最值的能力，還考查了函數的單調性和運算能力．