在數(shù)列{an}中,a1=0,且對(duì)任意k∈N*.a(chǎn)2k-1,a2k,a2k+1成等差數(shù)列,其公差為dk
(Ⅰ)若dk=2k,證明a2k,a2k+1,a2k+2成等比數(shù)列(k∈N*
(Ⅱ)若對(duì)任意k∈N*,a2k,a2k+1,a2k+2成等比數(shù)列,其公比為qk
分析:(Ⅰ)證明:由題設(shè),可得a2k+1=2k(k+1),從而a2k=a2k+1-2k=2k2,a2k+2=2(k+1)2.于是
a2k+1
a2k
=
k+1
k
,
a2k+2
a2k+1
=
k+1
k
,所以
a2k+2
a2k+1
=
a2k+1
a2k
,由此可知當(dāng)dk=2k時(shí),對(duì)任意k∈N*,a2k,a2k+1,a2k+2成等比數(shù)列.
(Ⅱ)由題意可知,
a2k+2
a2k+1
=
a2k+1
a2k
=
k+1
k
,從而
a2k+2
a2k
=
(k+1)2
k2
,k∈N*

因此,a2k=
a2k
a2k-2
.
a2k-2
a2k-4
a4
a2
a2=
k2
(k-1)2
.
(k-1)2
(k-2)2
22
12
.2=2k2a2k+1=a2k.
k+1
k
=2k(k+1),k∈N*

再分情況討論求解.
解答:(Ⅰ)證明:由題設(shè),可得a2k+1-a2k-1=4k,k∈N*
所以a2k+1-a1=(a2k+1-a2k-1)+(a2k-1-a2k-3)++(a3-a1
=4k+4(k-1)++4×1
=2k(k+1)
由a1=0,得a2k+1=2k(k+1),從而a2k=a2k+1-2k=2k2,a2k+2=2(k+1)2
于是
a2k+1
a2k
=
k+1
k
,
a2k+2
a2k+1
=
k+1
k
,所以
a2k+2
a2k+1
=
a2k+1
a2k

所以dk=2k時(shí),對(duì)任意k∈N*,a2k,a2k+1,a2k+2成等比數(shù)列.
(Ⅱ)證明:a1=0,a2=2,可得a3=4,從而q1=
4
2
=2
1
q1-1
=1.由(Ⅰ)有
1
qk-1
=1+k-1=k,得qk=
k+1
k
,k∈N*

所以
a2k+2
a2k+1
=
a2k+1
a2k
=
k+1
k
,從而
a2k+2
a2k
=
(k+1)2
k2
,k∈N*

因此,a2k=
a2k
a2k-2
.
a2k-2
a2k-4
a4
a2
a2=
k2
(k-1)2
.
(k-1)2
(k-2)2
22
12
.2=2k2a2k+1=a2k.
k+1
k
=2k(k+1),k∈N*

以下分兩種情況進(jìn)行討論:
(1)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),設(shè)n=2m(m∈N*(2))
若m=1,則2n-
n
k=2
k2
ak
=2

若m≥2,則
n
k=2
k2
ak
=
m
k=1
(2k)2
a2k
+
m-1
k=1
(2k+1)2
a2k+1
=
m
k=1
4k2
2k2
+
m-1
k=1
4k2+4k+1
2k(k+1)
=2m+
m-1
k=1
[
4k2+4k
2k(k+1)
+
1
2k(k+1)
]=2m+
m-1
k=1
[2+
1
2
(
1
k
-
1
k+1
)]

=2m+2(m-1)+
1
2
(1-
1
m
)=2n-
3
2
-
1
n.

所以2n-
n
k=2
k2
ak
=
3
2
+
1
n
,從而
3
2
<2n-
n
k=2
k2
ak
<2,n=4,6,8

(2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),設(shè)n=2m+1(m∈N*
n
k=2
k2
ak
=
2m
k=2
k2
ak
+
(2m+1)
a2m+1
2
=4m-
3
2
-
1
2m
+
(2m+1)2
2m(m+1)
=4m+
1
2
-
1
2(m+1)
=2n-
3
2
-
1
n+1

所以2n-
n
k=2
k2
ak
=
3
2
+
1
n+1

從而
3
2
<2n-
n
k=2
k2
ak
<2,n=3,5,7

綜合(1)(2)可知,對(duì)任意n≥2,n∈N*,有
3
2
<2n-
n
k=2
k2
ak
≤2
點(diǎn)評(píng):本題主要考查等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式,前n項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法.
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在數(shù)列{an}中,
a
 
1
=1
an=
1
2
an-1+1
(n≥2),則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=
2-21-n
2-21-n

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在數(shù)列{an}中,a 1=
1
3
,并且對(duì)任意n∈N*,n≥2都有an•an-1=an-1-an成立,令bn=
1
an
(n∈N*).
(Ⅰ)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{
an
n
}的前n項(xiàng)和為Tn,證明:
1
3
Tn
3
4

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12
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在數(shù)列{an}中,a,并且對(duì)任意n∈N*,n≥2都有an•an-1=an-1-an成立,令bn=(n∈N*).
(Ⅰ)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Tn,證明:

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