Question

a、b是常數(shù)，關(guān)于x的一元二次方程x²+（a+b）x+3+

ab

2

=0有實數(shù)解記為事件A．
（1）若a、b分別表示投擲兩枚均勻骰子出現(xiàn)的點數(shù)，求P（A）；
（2）若a∈R、b∈R，-6≤a+b≤6且-6≤a-b≤6，求P（A）．

Answer 1

分析：（1）先求出數(shù)對（a，b）的個數(shù)，再由方程有根，必有△≥0，由此關(guān)系計數(shù)得出符合的數(shù)對（a，b）的個數(shù)，再由公式求出概率．
（2）此題是一個幾何概率模型，先求出區(qū)域D={（a，b）|-6≤a+b≤6，-6≤a-b≤6}的面積，再求出程有實根對應(yīng)區(qū)域為d={（a，b）|-6≤a+b≤6，-6≤a-b≤6，a²+b²≥12}與區(qū)域D的公共部分的面積，再有概率公式求出概率．

解答：解：（1）方程有實數(shù)解，（a+b）²-4（3+

ab

2

）≥0，
即a²+b²≥12…（1分）
依題意，a=1、2、3、4、5、6，b=1、2、3、4、5、6，
所以，“投擲兩枚均勻骰子出現(xiàn)的點數(shù)”共有6×6=36種結(jié)果…（2分）
當(dāng)且僅當(dāng)“a=1且b=1、2、3”，或“a=2且b=1、2”，
或“a=3且b=1”時，a²+b²≥12不成立…（5分），
所以滿足a²+b²≥12的結(jié)果有36-（3+2+1）=30種…（6分），
從而P（A）=

30

36

=

5

6

…（7分）．
（2）在平面直角坐標(biāo)系aOb中，直線a+b=±6與a-b=±6
圍成一個正方形…（8分）
正方形邊長即直線a+b=±6與a-b=±6之間的距離為d=

6+6

2

=6

2

…（9分）
正方形的面積S=d²=72…（10分），
圓a²+b²=12的面積為S′=12π…（11分）
圓在正方形內(nèi)部…（12分），
所以P（A）=

S-S′

S

=

72-12π

72

=

6-π

6

…（13分）．

點評：本題考查等可能事件的概率，解題的關(guān)鍵是理解題意，得出（1）是一個古典概率模型問題，（2）中是一個幾何概率模型，由相應(yīng)的公式計算出概率．