Question

（2012•瀘州一模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的長軸長是焦距的2倍，右準(zhǔn)線方程為x=4．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)D坐標(biāo)為（4，0），橢圓C上動(dòng)點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)P，直線PD交橢圓C于點(diǎn)R（異于點(diǎn)P），求證：直線QR過定點(diǎn)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的長軸長是焦距的2倍，右準(zhǔn)線方程為x=4，可求幾何量，從而求出橢圓C的方程；
（Ⅱ）先猜想定點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，0），再設(shè)Q（m，n），則P（m，-n），證明直線PD與直線QA的交點(diǎn)恒在橢圓上，從而得證．

解答：（Ⅰ）解：∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的長軸長是焦距的2倍
∴2a=2（2c），∴a=2c
∵右準(zhǔn)線方程為x=4，∴

a2

c

=4，∴a²=4c
∴4c²=4c，∴c=1，∴a=2，∴b=

a2-c2

=

3

所以橢圓C的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）證明：不妨取Q（0，

3

），則P（0，-

3

）
∴直線PD的方程為

x

4

+

y

- 3

=1，即y=

3

4

x-

3

代入橢圓方程可得：5x²-8x=0
∴x=0，或x=

8

5

∴R（

8

5

，-

3

5

3

）
∴直線QR的方程為y=-

3

x+

3

令y=0，可得x=1，故猜想定點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，0）
設(shè)Q（m，n），則P（m，-n），∴直線PD的方程為：y=

n

4-m

(x-4)①
直線QA的方程為y=

n

m-1

(x-1)②
聯(lián)立①②可得

y= n 4-m (x-4) y= n m-1 (x-1)

，解得

x= 5m-8 2m-5 y= 3n 2m-5

代入橢圓方程的左邊可得

(5m-8)2

4(2m-5)2

+

(3n)2

3(2m-5)2

∵Q（m，n）在橢圓上，∴

m2

4

+

n2

3

=1，∴n2=3-

3

4

m2
∴

(5m-8)2

4(2m-5)2

+

(3n)2

3(2m-5)2

=

(5m-8)2

4(2m-5)2

+

9- 9 4 m2

(2m-5)2

=

(5m-8)2+36-9m2

4(2m-5)2

=1
即直線PD與直線QA的交點(diǎn)恒在橢圓上
故直線QR過定點(diǎn)（1，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線恒過定點(diǎn)，利用先猜后證的方法，解題的關(guān)鍵是確定定點(diǎn)的坐標(biāo)，屬于中檔題．