Question

已知A（4，0），N（1，0），若點(diǎn)P滿足

AN

•

AP

=6|

PN

|．
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程，并說(shuō)明該軌跡是什么曲線；
（2）求|

PN

|的取值范圍；
（3）若M（-1，0），求∠MPN在[0，π]上的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出點(diǎn)P（x，y），將

AN

•

AP

=6|

PN

|用坐標(biāo)表示出來(lái)整理即得點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）利用橢圓的第二定義建立關(guān)于|

PN

|的等式，將|

PN

|用坐標(biāo)表示出來(lái)，即將|

PN

|表示成P的坐標(biāo)的函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)求即可．
（3）用余弦定理將∠MPN的余弦值表示成關(guān)于|

PN

|的函數(shù)，用函數(shù)的性質(zhì)求求出角的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)P（x，y），

AP

=（x-4，y），

PN

=（1-x，-y），

AN

=（-3，0），
∵

AN

•

AP

=6||，
∴-3（x-4）=6

(1-x)2+(-y)2

，即3x²+4y²=12．
∴

x2

4

+

y2

3

=1．∴P點(diǎn)的軌跡是以（-1，0）、（1，0）為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓．
（2）N（1，0）為橢圓的右焦點(diǎn)，x=4為右準(zhǔn)線，
設(shè)P（x₀，y₀），P到右準(zhǔn)線的距離為d，d=4-x₀，

|PN|

d

=e=

1

2

，|PN|=

1

2

d=

4-x0

2

．
∵-2≤x₀≤2，∴1≤|PN|≤3．
當(dāng)|PN|=1時(shí)，P（2，0）；當(dāng)|PN|=3時(shí)，P（-2，0）．
（3）令|PN|=t（1≤t≤3），
則|PM|=4-t，|MN|=2，
cos∠MPN=

|PN|2+|PM|2-|MN|2

2|PN||PM|

=

t2+(4-t)2-4

2t(4-t)

=-1+

6

t(4-t)

．
由1≤t≤3，得3≤t（4-t）≤4，
∴

1

2

≤cos∠MPN≤1，
∴0≤∠MPN≤

π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題是遞進(jìn)式的一個(gè)題，此特點(diǎn)是后一問要用上前一問的結(jié)論，環(huán)環(huán)相扣，相當(dāng)緊湊，本題運(yùn)算量比較大，符號(hào)運(yùn)算較多．