Question

已知函數(shù)f（x）=x（a＞0，且a≠1），其中a為常數(shù)，如果h（x）=f（x）+g（x）在其定義域上是增函數(shù)，且h'（x）存在零點（h'（x）為h（x）的導(dǎo)函數(shù)）．
（I）求a的值；
（Ⅱ）設(shè)A（m，g（m）），B（n，g（n））（m＜n）是函數(shù)y=g（x）的圖象上兩點，g'（x）=（g'（x）為g（x）的導(dǎo)函數(shù)），證明：m＜x＜n．

Answer 1

【答案】分析：（I）．在（0，+∞）上是增函數(shù)，所以≥0在（0，+∞）上恒成立，利用分離參數(shù)法求解．
（Ⅱ）由（I），，于是．先證明．等價于mlnn-mlnm-n+m＜0，構(gòu)造函數(shù)r（x）=xlnn-xlnx-n+x（0＜x≤n），
通過求導(dǎo)研究單調(diào)性，r（x）在（0，n]上為增函數(shù)．因此當m＜n時，r（m）＜r（n）=0，即mlnn-mlnm-n+m＜0．同理可證．
解答：解：（I）因為．
所以．
因為h（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
所以上恒成立     …（1分）
當．
而x²-2x=（x-1）²-1在（0，+∞）上的最小值是-1．
于是．（※）
可見
從而由（※）式即得lna≤1．①…..…（4分）
同時，
由，
解得lna≥1②，或lna≤0（因為a＞1，lna＞0，這是不可能的）．
由①②得 lna=1．
此時，h'（x）存在正零點x=1，故a=e即為所求   …（6分）
注：沒有提到（驗證）lna=1時，h'（x）存在正零點x=1，不扣分．
（II）由（I），，
于是．…（7分）
以下證明．（☆）
（☆）等價于mlnn-mlnm-n+m＜0．…（8分）
構(gòu)造函數(shù)r（x）=xlnn-xlnx-n+x（0＜x≤n），
則r'（x）=lnn-lnx，當x∈（0，n）時，r'（x）＞0，所以r（x）在（0，n]上為增函數(shù)．
因此當m＜n時，r（m）＜r（n）=0，即mlnn-mlnm-n+m＜0．
從而x＞m得到證明．    …（11分）
同理可證．…（12分）
注：沒有“綜上”等字眼的結(jié)論，扣（1分）．
點評：數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的結(jié)合是導(dǎo)數(shù)最為基本的考查，而函數(shù)的恒成立問題常轉(zhuǎn)化為利用相關(guān)知識求解函數(shù)的最值問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用，還考查了運用基本知識進行推理論證的能力