Question

19．已知曲線f（x）=axlnx+bx在（1，f（1））處的切線方程為y=x-1．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）對(duì)?x≥1，不等式f（x）≤m（x²-1）（m＞0）恒成立，求實(shí)數(shù)m的最小值．

Answer 1

分析 （1）將（1，f（1））代入切線方程求出a的值，求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到f′（1）=1，求出b的值，從而求出函數(shù)的解析式；
（2）構(gòu)造函數(shù)g（x）=xlnx-m（x²-1），（x≥1），只需g（x）_max≤0成立即可，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論m的范圍，求出函數(shù)的最大值，從而求出m的最小值即可．

解答 解：（1）將（1，f（1））代入切線方程得：f（1）=0，
又f（1）=b，故b=0，
又f′（x）=a（lnx+1）+b，故f′（1）=1，
即a+b=1，∴a=1，
故f（x）=xlnx；
（2）原問題等價(jià)于對(duì)?x≥1，xlnx-m（x²-1）≤0恒成立，
求實(shí)數(shù)m的最小值，
構(gòu)造函數(shù)g（x）=xlnx-m（x²-1），（x≥1），
只需g（x）_max≤0成立即可，
g′（x）=lnx-2mx+1，
g″（x）=$\frac{1-2mx}{x}$，
0＜m＜$\frac{1}{2}$時(shí)，對(duì)于x∈[1，$\frac{1}{2m}$），g″（x）＞0，
g′（x）在[1，$\frac{1}{2m}$）遞增，g′（x）≥g′（1）=1-2m＞0，
則函數(shù)g（x）在[1，$\frac{1}{2m}$）遞增，即g（1）=0，
故0≤g（x）＜g（$\frac{1}{2m}$），與已知矛盾，
m≥$\frac{1}{2}$時(shí)，對(duì)于x∈（1，+∞），函數(shù)g″（x）＜0恒成立，
則g′（x）在區(qū)間（1，+∞）遞減，
則g′（x）＜g′（1）=1-2m≤0，
則函數(shù)g（x）在區(qū)間[1，+∞）遞減，
故g（x）≤g（1）=0恒成立，
綜上，對(duì)?x≥1，f（x）≤m（x²-1）恒成立，
則實(shí)數(shù)m的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，+∞），
故實(shí)數(shù)m的最小值是$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．