Question

已知f（x）是定義在R時的奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）=

1

x

+1
（1）求函數(shù)f（x）的解析式
（2）寫成函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）由x＜0時，-x＞0，得f（-x），再由奇函數(shù)的定義f（-x）=-f（x）得f（x）；由f（x）是R上奇函數(shù)，得f（0）=0；寫出f（x）的解析式．
（2）x＜0時，f（x）是減函數(shù)，x＞0時，f（x）是減函數(shù)；得出f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（1）當x＜0時，-x＞0，∴-f（x）=f（-x）=-

1

x

+1，即f（x）=

1

x

-1；
又∵f（x）是R上奇函數(shù)，∴當x=0時，f（x）=0；
所以f（x）的解析式為：
f（x）=

1 x -1     (x＜0) 0            (x=0) 1 x +1      (x＞0)

（2）當x＜0時，f（x）=

1

x

-1是減函數(shù)，當x＞0時，f（x）=

1

x

+1是減函數(shù)；
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間為：減區(qū)間（-∞，0），（0，+∞）．

點評：本題考查了分段函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性問題，是基礎(chǔ)題目．