Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a₁=1，2S_n=（n+1）a_n，
（I）求a_n與a_n-1的關(guān)系式，并求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）求和Wn=

1

a 2 2 -1

+

1

a 2 3 -1

+…+

1

a 2 n+1 -1

．

Answer 1

分析：（I）由已知，

2Sn=(n+1)an 2Sn-1=nan-1

兩式相減得2a_n=（n+1）a_n-na_n-1，移向整理得出an=

n

n-1

an-1（n≥2），再利用累積法求通項(xiàng)公式．
（II）

1

a 2 n+1 -1

=

1

(n+1)2-1

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，裂項(xiàng)后求和計(jì)算即可．

解答：解：（I）由已知

2Sn=(n+1)an 2Sn-1=nan-1

兩式相減得2a_n=（n+1）a_n-na_n-1，移向整理得出an=

n

n-1

an-1（n≥2）

∴

an

a1

=

an

an-1

•

an-1

an-2

•…•

a2

a1

=

n

n-1

•

n-1

n-2

•…•

2

1

=n，
∴a_n=n；且a₁=1也適合，
所以a_n=n．
（II）

1

a 2 n+1 -1

=

1

(n+1)2-1

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)
Wn=

1

1•3

+

1

2•4

+

1

3•5

+…+

1

n(n+2)

=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

n-1

-

1

n+1

)+( 

1

n

-

1

n+2

)]
=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）=

3

4

-

2n+3

2n(n+1)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列累積法通項(xiàng)公式求解，裂項(xiàng)法求和．考查轉(zhuǎn)化、變形構(gòu)造，計(jì)算能力．