Question

已知函數(shù)f（x）=|x+

1

x

-1|，則關(guān)于x的方程f²（x）-6f（x）+c=0（c∈R）有6個不同實(shí)數(shù)解的充要條件是

5＜c＜9

．

Answer 1

分析：作出函數(shù)f（x）的圖象，利用函數(shù)圖象的關(guān)系，設(shè)t=f（x），將方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次方程根的個數(shù)問題．

解答：解：設(shè)t=f（x），則方程f²（x）-6f（x）+c=0（c∈R）等價為t²-6t+c=0（c∈R），
當(dāng)x＞0時x+

1

x

-1≥2-1=1，
當(dāng)x＜0時x+

1

x

-1≤-2-1=-3，
即x＞0時f（x）=|x+

1

x

-1|≥2-1=1，
當(dāng)x＜0時f（x）=|x+

1

x

-1|≥3，
作出f（x）=|x+

1

x

-1|的圖象如圖：
則當(dāng)t＜1時，方程f（x）=t有0解，
當(dāng)t=1時，方程f（x）=t有1解，
當(dāng)t=3時，方程f（x）=t有3解，
當(dāng)1＜t＜3時，方程f（x）=t有2解，
當(dāng)t＞3時，方程f（x）=t有4解．
若關(guān)于x的方程f²（x）-6f（x）+c=0（c∈R）有6個不同實(shí)數(shù)解，
則t²-6t+c=0的兩個解t滿足1＜t＜3或t＞3，
即c=-t²+6t，1＜t＜3或t＞3，
∵c=-t²+6t=-（t-3）²+9，
1＜t＜3或t＞3，
∴5＜c＜9
故答案為：（5，9）

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)根的個數(shù)的判斷和應(yīng)用，利用換元法將方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的取值情況是解決本題的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的突破點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，難度較大．