精英家教網(wǎng)已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直,AB=AC=AA1=1,AB⊥AC,點(diǎn)M、N分別是CC1、BC的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P在線段A1B1上,且滿足
A1P
A1B1

(1)求二面角M-AB-C的余弦值;
(2)求證:PN⊥AM恒成立;
(3)當(dāng)λ=1時(shí),線段AB上是否存在Q使得VP-AQN=
1
2
VP-AMN
,若存在,求出點(diǎn)Q的位置,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(1)利用線面垂直的判定和性質(zhì)定理及二面角的定義即可得出;
(2)利用正方形的性質(zhì)、三角形全等、線面垂直的判定和性質(zhì)即可證明;
(3)通過(guò)結(jié)論空間直角坐標(biāo)系,利用點(diǎn)到平面的距離公式即可得出.
解答:解:(1)∵三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直,∴A1A⊥AB,
又∵AC⊥AB,AC∩AA1=A,
∴AB⊥平面ACC1A1,
∴AB⊥AM,
∴∠MAC即為二面角M-AB-C的平面角.
∵AC=1,則CM=
1
2
,∴AM=
12+(
1
2
)2
=
5
2

cos∠CAM=
AC
AM
=
2
5
5

(2)取AC的中點(diǎn)K,連接NK、A1K.則NK∥AB.
由(1)可知:NK⊥平面ACC1A1
∴NK⊥AM.
在正方形ACC1A1中,由△A1AK≌△ACM,可得∠MAC=∠KA1A,
∠MAC+∠AKA1=90°,即AM⊥A1K.
又NK∩A1K=K,
∴AM⊥A1PNK.精英家教網(wǎng)
∴PN⊥AM.
(3)當(dāng)λ=1時(shí),假設(shè)線段AB上存在Q使得VP-AQN=
1
2
VP-AMN
?點(diǎn)M到底面ANP的距離=2點(diǎn)Q到底面ANP的距離.下面通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系來(lái)證明.
建立如圖所示的坐標(biāo)系.
則A(0,0,0),P(-
1
2
,0,1)
,N(-
1
2
,
1
2
,0)
,M(0,1,
1
2
)

AP
=(-
1
2
,0,1)
AN
=(-
1
2
,
1
2
,0)
,
AM
=(0,1,
1
2
)

設(shè)Q(0,k,0),則-1≤k≤0,
AQ
=(0,k,0)

設(shè)平面ANP的法向量為
n
=(x,y,z).
n
AP
=0
n
AN
=0
-
1
2
x+z=0
-
1
2
x+
1
2
y=0
,令z=1,則x=y=2,
n
=(2,2,1)

|
n
AM
|
|
n
|
=
|
n
AQ
|
|
n
|
,得2+
1
2
=|2k|
,解得k=±
5
4
,不滿足條件-1≤k≤0,因此線段AB上不存在Q使得VP-AQN=
1
2
VP-AMN
點(diǎn)評(píng):熟練掌握線面垂直的判定和性質(zhì)定理及二面角的定義、正方形的性質(zhì)、三角形全等、三棱錐的條件計(jì)算公式、點(diǎn)到直線的距離公式是解題的關(guān)鍵.
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2
3
2
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CG
|的值為( 。

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