Question

已知函數(shù)，設(shè)曲線在與軸交點處的切線為，為的導函數(shù)，滿足．

（1）求；

（2）設(shè)，，求函數(shù)在上的最大值；

（3）設(shè)，若對于一切，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2） ；（3）．

【解析】

試題分析：（1）三次函數(shù)的導數(shù)是二次函數(shù)，由，知其對稱軸，曲線的切線問題，可利用導數(shù)的幾何意義(切點處切線的斜率)列出方程組求解；（2），畫出函數(shù)圖象考察其單調(diào)性，根據(jù)其單調(diào)區(qū)間對的值分類討論求出其最大值；（3）對不等式進行化簡，得恒成立，即，且，對任意的成立，然后又轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，要注意，從而有.

試題解析：（1），∵，

∴函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，，       2分

∵曲線在與軸交點處的切線為，∴切點為，

∴，解得，則        5分

（2）∵，

∴，其圖象如圖           7分

當時，，

當時，，

當時，，

綜上                 10分

（3），，

當時，，所以不等式等價于恒成立，

解得，且，                      13分

由，得，，所以，

又，∵ ，∴所求的實數(shù)的的取值范圍是    16分

考點：函數(shù)與導數(shù)、曲線的切線、不等式恒成立問題.