Question

已知不等式

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＞a對一切大于1的自然數n都成立，則a的取值范圍是（　�。�

• A．(-∞，

  1

  3

  ]
• B．(-∞，

  1

  2

  ]
• C．(-∞，

  7

  12

  )
• D．（-∞，0]

Answer 1

分析：先設f(n)=

1

n+1

+…+

1

2n

，利用單調性的定義證得f（n）是關于n（n∈N，n≥2）的遞增數列，從而f（n）≥f（2）從而可求a的取值范圍．

解答：解：設設f(n)=

1

n+1

+…+

1

2n

，則f(n+1)=

1

n+2

+…+

1

2n

+

1

2n+1

+

1

2(n+1)

，
則f(n+1)-f(n)=

1

2n+1

+

1

2(n+1)

-

1

n+1

=

1

2n+1

-

1

2(n+1)

=

1

2n+1

-

1

2n+2

＞0，
所以數列f（n）是關于n（n∈N，n≥2）的遞增數列，
所以f（n）≥f（2）=

1

2+1

+

1

2+2

=

1

3

+

1

4

=

7

12

，
所以要使不等式

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＞a對一切大于1的自然數n都成立，所以a＜

7

12

．
故選C．

點評：本小題主要考查數列單調性的應用、不等式的證明、進行簡單的演繹推理、不等式的證明等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．