Question

已知函數(shù)（其中為常數(shù)）.

(Ⅰ)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ) 當時，設函數(shù)的3個極值點為，且.

證明：.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)單調(diào)減區(qū)間為,;增區(qū)間為.

(Ⅱ)利用導數(shù)研究得到，所以，

當時，，，

∴ 函數(shù)的遞增區(qū)間有和，遞減區(qū)間有，，，

此時，函數(shù)有3個極值點，且；

當時，

通過構(gòu)造函數(shù)，證得當時，.

【解析】

試題分析：(Ⅰ)

令可得.列表如下:

	-	-	0	+
	減	減	極小值	增

單調(diào)減區(qū)間為,;增區(qū)間為.  5分

(Ⅱ)由題，

對于函數(shù)，有

∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

∵函數(shù)有3個極值點，

從而，所以，

當時，，，

∴ 函數(shù)的遞增區(qū)間有和，遞減區(qū)間有，，，

此時，函數(shù)有3個極值點，且；

∴當時，是函數(shù)的兩個零點，  9分

即有，消去有   

令，有零點，且

∴函數(shù)在上遞減，在上遞增

要證明   

 即證

構(gòu)造函數(shù)，=0

只需要證明單調(diào)遞減即可.而， 在上單調(diào)遞增,

∴當時，. １４分

考點：本題主要考查應用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值，不等式的證明。

點評：典型題，本題屬于導數(shù)應用中的基本問題，像涉及恒成立問題，往往通過研究函數(shù)的最值達到解題目的。證明不等式問題，往往通過構(gòu)造新函數(shù)，研究其單調(diào)性及最值，而達到目的。本題（II）難度較大。