(2008•海珠區(qū)一模)已知拋物線D的頂點是橢圓
x2
4
+
y2
3
=1的中心,焦點與該橢圓的右焦點重合.
(1)求拋物線D的方程;
(2)已知動直線l過點P(4,0),交拋物線D于A、B兩點,坐標原點O為PQ中點,求證:∠AQP=∠BQP;
(3)是否存在垂直于x軸的直線m被以AP為直徑的圓所截得的弦長恒為定值?如果存在,求出m的方程;如果不存在,說明理由.
分析:(1)由題意,設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0).由a2-b2=4-3=1,得c=1.由此能求出拋物線D的方程.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由于O為PQ之中點,故當l⊥x軸時由拋物線的對稱性知∠AQP=∠BQP,當l不垂直x軸時,設(shè)l:y=k(x-4),由
y=k(x-4)
y2=4x
,得k2x2-4(2k2+1)x+16k2=0,由此能夠證明∠AQP=∠BQp.
(3)設(shè)存在直線m+x=a滿足題意,則圓心M(
x1+4
2
,
y1
2
)
,過M作直線x=a的垂線,垂足為E,故|EG|2=|MG|2-|ME|2,由此能夠?qū)С龃嬖谥本m:x=3滿足題意.
解答:(本小題滿分14分)
(1)解:由題意,可設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0).
由a2-b2=4-3=1,得c=1.
∴拋物線的焦點為(1,0),∴p=2.
∴拋物線D的方程為y2=4x.…(4分)
(2)證明:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
由于O為PQ之中點,故當l⊥x軸時,由拋物線的對稱性知,一定有∠AQP=∠BQP,
當l不垂直x軸時,設(shè)l:y=k(x-4),
y=k(x-4)
y2=4x
,得k2x2-4(2k2+1)x+16k2=0,
x1+x2=
4(2k2+1)
k2
x1x2=16
,
kAQ=
y1
x1+4
=
k(x1-4)
x1+4

kBQ=
y2
x2+4
=
k(x2-4)
x2+4
,
kAQ+kBQ=
k(2x1x2-32)
(x1+4)(x2+4)
=
k(2•16-32)
(x1+4)(x2+4)
=0

∴∠AQP=∠BQP.
綜上證知,∠AQP=∠BQP
(3)解:設(shè)存在直線m+x=a滿足題意,
則圓心M(
x1+4
2
,
y1
2
)
,
過M作直線x=a的垂線,垂足為E,
∴|EG|2=|MG|2-|ME|2,
即|EG|2=|MA|2-|ME|2
=
(x1-4)2+y12
4
-(
x1+4
2
-a)
2

=
1
4
y12+
(x1-4)2-(x1+4)2
4
+a(x1+4)-a2

=x1-4x1+a(x1+4)-a2
=(a-3)x1+4a-a2,
當a=3時,|EG|2=3,
此時直線m被以AP為直徑的圓截得的弦長恒為定值2
3
.…(13分)
因此存在直線m:x=3滿足題意…(14分)
點評:本題考查拋物線方程的求法,直線和拋物線的位置關(guān)系,考查運算求解能力,推理論證能力;考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.對數(shù)學(xué)思維的要求比較高,有一定的探索性.綜合性強,難度大,是高考的重點.解題時要認真審題,仔細解答.
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