Question

（2012•石家莊一模）已知函數(shù)f（x）=

2ex

1+ax2

（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（I ）若函數(shù)f（x）有極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（II）若a=1，m＞4（ln2-1），求證：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞

2x2-mx+2

1+x2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)可得f′(x)=

2ex(1+ax2-2ax)

(1+ax2)2

，函數(shù)f（x）有極值，需方程1+ax²-2ax=0在x∈R上有兩個(gè)不等實(shí)根，從而可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）f（x）-

2x2-mx+2

1+x2

=

2ex-2x2+mx-2

1+x2

，設(shè)h（x）=2e^x-2x²+mx-2，證明h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，即可證得結(jié)論．

解答：（Ⅰ）解：由f（x）=

2ex

1+ax2

，可得f′(x)=

2ex(1+ax2-2ax)

(1+ax2)2

，…．（2分）
依題意，需方程1+ax²-2ax=0在x∈R上有兩個(gè)不等實(shí)根，
則：

a≠0 △=4a2-2a＞0

，…（4分）
解得：a＞1或a＜0．…（5分）
（Ⅱ）證明：若a=1，f（x）=

2ex

1+x2

，
∴f（x）-

2x2-mx+2

1+x2

=

2ex-2x2+mx-2

1+x2

，
設(shè)h（x）=2e^x-2x²+mx-2，∴h′（x）=2e^x-4x+m，
設(shè)g（x）=2e^x-4x+m（x＞0），g′（x）=2e^x-4，…（7分）
令g′（x）＜0，則0＜ln2；令g′（x）＞0，則x＞ln2；
∴函數(shù)g（x）在（0，ln2）上單調(diào)減，在（ln2，+∞）上單調(diào)增，
∴g（x）_min=g（ln2）=4-4ln2+m，
∴h′（x）≥4-4ln2+m，…（9分）
∵m＞4（ln2-1），∴h′（x）≥4-4ln2+m＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∵h(yuǎn)（0）=0，
∴h（x）＞0，…（11分）
∵1+x²＞0，∴

2ex-2x2+mx-2

1+x2

＞0，
∴f（x）-

2x2-mx+2

1+x2

=

2ex-2x2+mx-2

1+x2

＞0，
即f（x）＞

2x2-mx+2

1+x2

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的極值，考查不等式的證明，考查函數(shù)思想的運(yùn)用，正確構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．