設(shè)曲線(xiàn)C:f(x)=x3-ax+b(a,b∈R)
(1)若函數(shù)g(x)=lnx-
a6
[f′(x)+a]-2x存調(diào)遞減區(qū)間,求a的取值范圍;
(2)若過(guò)曲線(xiàn)C外的點(diǎn)A(1,0)作曲線(xiàn)C的切線(xiàn)恰有三條,求a,b滿(mǎn)足的關(guān)系式.
分析:(1)由已知中f(x)=x3-ax+b(a,b∈R),我們易求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′(x),進(jìn)而給出函數(shù)g(x)=lnx-
a
6
[f′(x)+a]-2x的解析式,若函數(shù)g(x)存調(diào)遞減區(qū)間,則g′(x)=
1
x
-ax-2<0在(0,+∞)上有解,構(gòu)造函數(shù)h(x)=
1-2x
x2
,求出其最小值,即可得到答案.
(2)由(1)中導(dǎo)函數(shù)f′(x)的解析式,我們?cè)O(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo),則可以得到直線(xiàn)的切線(xiàn)方程,由于切線(xiàn)過(guò)A點(diǎn),將A點(diǎn)坐標(biāo)代入即可得到關(guān)于參數(shù)的方程,又由已知中過(guò)點(diǎn)A(1,0)的曲線(xiàn)C的切線(xiàn)恰有三條,則對(duì)應(yīng)方程恰有三個(gè)不同的根,構(gòu)造函數(shù)后,可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn),結(jié)合三次函數(shù)的圖象性質(zhì),判斷出函數(shù)的極小值小于0,極大值大于0,構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的方程組,解方程組,即可得到答案.
解答:解:(1)∵f′(x)=3x2-a,
∴g(x)=lnx-
a
6
[f′(x)+a]-2x=lnx-
a
2
x2
-2x(x>0)
∴g′(x)=
1
x
-ax-2
若使g(x) 存在單調(diào)減區(qū)間,
則g′(x)=
1
x
-ax-2<0在(0,+∞)上有解
即a>
1-2x
x2
在(0,+∞)上有解
設(shè)h(x)=
1-2x
x2
=(
1
x
-1)2-1

則h(x)的最小值為-1
若a>
1-2x
x2
在(0,+∞)上有解
則a>-1
(2)∵f′(x)=3x2-a,
過(guò)點(diǎn)A(1,0)作曲線(xiàn)C的切線(xiàn),設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(c,f(c))
則切線(xiàn)方程為 y-(c3-ac+b)=(3c2-a)(x-a)
即y=(3c2-a)x-2c3+b
又∵切線(xiàn)過(guò)A(1,0)點(diǎn)
則(3c2-a)-2c3+b=0
即-2c3+3c2-a+b=0
又由過(guò)點(diǎn)A(1,0)的曲線(xiàn)C的切線(xiàn)恰有三條,
∴方程-2c3+3c2-a+b=0恰好有三個(gè)根,
令h(c)=-2c3+3c2-a+b
則h′(c)=-6c2+6c
則函數(shù)h(c)=-2c3+3c2-a+b在c=0時(shí)取極小值,在c=1時(shí)取極大值,
若方程-2c3+3c2-a+b=0恰好有三個(gè)根,
則h(0)=-a+b<0,h(1)=1-a+b>0
即a,b滿(mǎn)足的關(guān)系式為0<a-b<1
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用民數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)的切線(xiàn)方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,其中根據(jù)函數(shù)的解析式,求出導(dǎo)函數(shù)的解析式是解答本題的關(guān)鍵.
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(I)求函數(shù)f(x)的極值;
(II)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=e,an+1=2f′(
1an
)+3e
.求證:數(shù)列{an}中不存在成等差數(shù)列的三項(xiàng).

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(Ⅱ)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=e,an+1=2f′(
1an
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