Question

已知點P_n（a_n，b_n）滿足，且P₁點的坐標是（1，-1）．
（Ⅰ）求過P₁，P₂兩點的直線l的方程，并證明點 P_n在直線l上；
（Ⅱ）求使不等式對所有n∈N^*成立的最大實數λ．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）．．過P₁，P₂的直線方程為2x+y-1=0，然后用數學歸納法證明點P_n在直線l：2x+y-1=0上．
（Ⅱ）由a_n+1=a_n•b_n+1=a_n（1-2a_n+1），知．所以是以為首項，2為公差的等差數列．由此能導出λ的最大值是．
解答：解：（Ⅰ）．∴．
過P₁，P₂的直線方程為，即2x+y-1=0．（2分）
下面用數學歸納法證明點P_n在直線l：2x+y-1=0上，即2a_n+b_n=1，n∈N^*成立．
1）當n=12時，2a₁+b₁=13成立；
4）假設n=k（k∈N^*）5時，2a_k+b_k=16成立，則．
即n=k+1時，2a_k+1+b_k+1=1也成立．
根據1），2）對所有n∈N^*點P_n在直線l：2x+y-1=0上．（6分）

（Ⅱ）a_n+1=a_n•b_n+1=a_n（1-2a_n+1），∴a_n+1=a_n-2a_n+1a_n∴．
∴是以為首項，2為公差的等差數列．
∴．∴．（10分）
∴b₂b₃…b_nb_n+1=．
∴不等式•
?≥λ
設f（n）=，
∵
∴f（n）的最小值是．
∴．即λ的最大值是．（14分）
點評：本題考查不等式的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的靈活運用．