Question

某工廠生產(chǎn)的新型兒童玩具，當(dāng)每天的產(chǎn)品數(shù)量依次為1，2，3，…，98件時，廢品率依次為

2

99

 ， 

2

98

 ， 

2

97

 ， … ， 1．正品每件贏利10元，廢品每件虧本5元（正品率與廢品率之和等于1）．
（1）設(shè)每日可獲得的利潤為y元，將y表示為每天生產(chǎn)的玩具數(shù)量x的函數(shù)y=f（x）；
（2）每日生產(chǎn)多少件玩具，才能使所獲利潤最大，最大值是多少？（精確到0.01元）

Answer 1

分析：（1）設(shè)出當(dāng)每天的產(chǎn)品數(shù)量為x件時，廢品率為

2

100-x

，正品率為1-

2

100-x

，用正品的盈利減去次品的虧本表示出利潤y．
（2）對函數(shù)式進(jìn)行整理，換元得到能夠應(yīng)用基本不等式來解題的形式，利用基本不等式，寫出等號成立的條件，得到結(jié)果．

解答：解：（1）當(dāng)每天的產(chǎn)品數(shù)量為x件時，廢品率為

2

100-x

，正品率為1-

2

100-x

．…（2分）
∴y=( 1-

2

100-x

 )•10x-

2

100-x

•5x=10x-

30x

100-x

（1≤x≤98，x∈N^*）．…（6分）
（2）令100-x=t，則y=10 ( 100-t )-

3000-30t

t

=1030-10 ( t+

300

t

 )（2≤t≤99，t∈N^*）．…（8分）
∵t+

300

t

≥20

3

，當(dāng)且僅當(dāng)t=10

3

≈17.3時等號成立，…（10分）
又t∈N^*，∴當(dāng)t=17時，t+

300

t

取得最小值34.647．…（12分）
故每日生產(chǎn)83件玩具，才能使所獲利潤最大，最大值是683.53元．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查了根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)的模型，關(guān)鍵是設(shè)出生產(chǎn)的玩具的數(shù)量，表示出廢品率和正品率，本題是一個中檔題目．