Question

設(shè)函數(shù)f（x）=a^x-（k-1）a^-x（a＞o且a≠1）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)．
（1）求k的值；
（2）若f（1）=

3

2

，且g（x）=a^2x+a^-2x-2m•f（x）在[1，+∞）上的最小值為-2，求m的值．
（3）若f（1）=

3

2

，試討論函數(shù)g（x）=a^2x+a^-2x-2m•f（x）在[1，+∞）上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)情況．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f（x）為R上的奇函數(shù)，可得f（0）=0，由此求得有k的值．
（2）由f（1）=

3

2

，求得a=2的值，令t=2^x-2^-x，則t∈[

3

2

，+∞)，且滿足y=t²-2mt+2，t∈[

3

2

，+∞)．由題意可得，h（t）=g（x）在[

3

2

，+∞)上的最小值為-2．分m≤

3

2

和m＞

3

2

兩種情況，分別根據(jù)g（x）的最小值為-2，求得m的值．
（3）由（2）可得：令t=2^x-2^-x，則t∈[

3

2

，+∞)，且 y=t²-2mt+2，t∈[

3

2

，+∞)，分△＞0，和△＜0兩種情況，分別根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答：解：（1）∵f（x）為R上的奇函數(shù)，∴f（0）=0，求得1-k+1=0，故有k=2．
（2）由題意得：f（1）=

3

2

=a-

1

a

，∴a=2，或a=-

1

2

（舍），
∴f（x）=2^x-2^-x且f（x）在[1，+∞）上遞增，∴g（x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2．
令t=2^x-2^-x，則t∈[

3

2

，+∞)，且滿足y=t²-2mt+2，t∈[

3

2

，+∞)．
由題意可得，h（t）=g（x）在[

3

2

，+∞)上的最小值為-2．
若m≤

3

2

，g（x）的最小值為h（

3

2

）=

9

4

-2m×

3

2

+2=-2，解得 m=

25

12

 （舍），
若m＞

3

2

，g（x）的最小值為h（m）=m²-2m•m+2=-2，解得m=2．
綜合可得，m=2．
（3）由（2）可得：令t=2^x-2^-x，則t∈[

3

2

，+∞)，且 y=t²-2mt+2，t∈[

3

2

，+∞)．
若△=4m²-8＞0，即 m＜-

2

，或 m＞

2

．
當(dāng)m＞

2

時(shí)，由t2-2m+2=0⇒m=

t2+2

2t

⇒m=

1

2

(t+

2

t

)，由t∈[

3

2

，+∞)，故m（t）在t∈[

3

2

，+∞)上單調(diào)遞增，
∴m(t)min=m(

3

2

)=

17

12

，由題意m≥

17

12

時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)m＜-

2

時(shí)在方程t²-2mt+2=0中由韋達(dá)定理的t₁t₂＞0，t₁+t₂＜0，則方程只有負(fù)根，故無(wú)零點(diǎn)．
若△≤0，即m∈[-

2

，

2

]，由題意可得無(wú)零點(diǎn)．
所以當(dāng)m＞

2

時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)；其余均無(wú)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．