已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x,y)到直線l:x=4的距離是它到點(diǎn)N(1,0)的距離的2倍.

(1)求動點(diǎn)M的軌跡C的方程;

(2)過點(diǎn)P(0,3)的直線m與軌跡C交于A,B兩點(diǎn),若A是PB的中點(diǎn),求直線m的斜率.

 

【答案】

(1) +=1 (2) -或

【解析】

解:(1)設(shè)M到直線l的距離為d,

根據(jù)題意,d=2|MN|.

由此得|4-x|=2,

化簡得+=1,

所以,動點(diǎn)M的軌跡方程為+=1.

(2)法一　由題意,設(shè)直線m的方程為y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2).

將y=kx+3代入+=1中,

有(3+4k2)x2+24kx+24=0,

其中,Δ=(24k)2-4×24(3+4k2)=96(2k2-3)>0,

由求根公式得,

x1+x2=-, ①

x1x2=. ②

又因A是PB的中點(diǎn),

故x2=2x1,③

將③代入①,②,得

x1=-,

=,

可得=,

且k2>,

解得k=-或k=,

所以,直線m的斜率為-或.

法二　由題意,設(shè)直線m的方程為y=kx+3,

A(x1,y1),B(x2,y2).

∵A是PB的中點(diǎn),

∴x1=,①

y1=.②

又+=1,③

+=1.④

聯(lián)立①,②,③,④解得或

即點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0)或(-2,0),

所以,直線m的斜率為-或.

 

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   (Ⅰ) 求動點(diǎn)M的軌跡C的方程;

   (Ⅱ) 過點(diǎn)P(0,3)的直線m與軌跡C交于A, B兩點(diǎn). 若A是PB的中點(diǎn), 求直線m的斜率.

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(2)若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2,0),A、B為W上的兩個(gè)動點(diǎn),且滿足QA⊥QB,點(diǎn)Q到直線AB的距離為d,求d的最大值.

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