Question

已知數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足a₁=2，2a_n=1+a_na_n+1，b_n=a_n-1，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，T_n=S_2n-S_n．
（1）求證：數(shù)列{

1

bn

}為等差數(shù)列，并求通項(xiàng)b_n；
（2）求證：T_n+1＞T_n；
（3）求證：當(dāng)n≥2時(shí)，S2n≥

7n+11

12

．

Answer 1

分析：（1）將b_n=a_n-1代入2a_n=1+a_na_n+1，可得b_n的遞推關(guān)系式，整理變形可得

1

bn+1

-

1

bn

=1，由等差數(shù)列的定義可得{

1

bn

}為等差數(shù)列，故可求其通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出b_n．
（2）結(jié)合（1）中的結(jié)論，寫出T_n+1-T_n的表達(dá)式，利用放縮法證明該差大于0即可．
（3）利用疊加法把S2n轉(zhuǎn)化為T2n-1+T2n-2+…+T₂+T₁+S₁的形式，再結(jié)合（2）中的結(jié)論，利用T_n的單調(diào)性證明不等式．

解答：解：（1）由b_n=a_n-1，得a_n=b_n+1，代入2a_n=1+a_na_n+1，
得2（b_n+1）=1+（b_n+1）（b_n+1+1），
∴b_nb_n+1+b_n+1-b_n=0，從而有

1

bn+1

-

1

bn

=1，
∵b₁=a₁-1=2-1=1，
∴{

1

bn

}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴

1

bn

=n，即bn=

1

n

；（5分）
（2）∵Sn=1+

1

2

++

1

n

，
∴Tn=S2n-Sn=

1

n+1

+

1

n+2

++

1

2n

，
Tn+1=

1

n+2

+

1

n+3

++

1

2n

+

1

2n+1

+

1

2n+2

，Tn+1-Tn=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

＞

1

2n+2

+

1

2n+2

-

1

n+1

=0，
∴T_n+1＞T_n；（10分）
（3）∵n≥2，
∴S2n=S2n-S2n-1+S2n-1-S2n-2++S2-S1+S1
=T2n-1+T2n-2+…+T₂+T₁+S₁．
由（2）知T2n-1≥T2n-2≥…≥T₂≥T₁≥S₁，
∵T1=

1

2

，S1=1，T2=

7

12

，
∴S2n=T2n-1+T2n-2+…+T₂+T₁+S₁
≥（n-1）T₂+T₁+S₁=

7

12

(n-1)+

1

2

+1=

7n+11

12

．（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列和不等式的綜合應(yīng)用，應(yīng)用了構(gòu)造法、放縮法、疊加法等數(shù)學(xué)思想方法，難度較大．