Question

20．已知函數f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax²+bx，其中函數g（x）的圖象在點（1，g（1））處的切線平行于x軸．
（1）確定a與b的關系；
（2）若a≥0，試討論函數g（x）的單調性．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，利用切線與x軸平行，推出結果．
（2）求出函數的導數與函數g（x）的定義域，通過當a=0時，當a＞0時，分別求解函數的極值點，判斷函數的單調性，即可得到結論．

解答 解：（1）依題意得g（x）=lnx+ax²+bx，
則$g'（x）=\frac{1}{x}+2ax+b$…（2分）
由函數g（x）的圖象在點（1，g（1））處的切線平行于x軸得：g'（1）=1+2a+b=0，
∴b=-2a-1…（4分）
（2）由（1）得$g'（x）=\frac{{2a{x^2}-（{2a+1}）x+1}}{x}=\frac{{（{2ax-1}）（{x-1}）}}{x}$．
∵函數g（x）的定義域為（0，+∞），
∴當a=0時，$g'（x）=-\frac{x-1}{x}$．
由g'（x）＞0，得0＜x＜1，由g'（x）＜0，得x＞1，…（6分）
當a＞0時，令g'（x）=0，得x=1或$x=\frac{1}{2a}$，…（7分）
若$\frac{1}{2a}＜1$，即$a＞\frac{1}{2}$，
由g'（x）＞0，得x＞1或$0＜x＜\frac{1}{2a}$，
由g'（x）＜0，得$\frac{1}{2a}＜x＜1$；…（9分）
若$\frac{1}{2a}＞1$，即$0＜a＜\frac{1}{2}$，
由g'（x）＞0，得$x＞\frac{1}{2a}$或0＜x＜1，
由g'（x）＜0，得$1＜x＜\frac{1}{2a}$…（11分）
若$\frac{1}{2a}=1$，即$a=\frac{1}{2}$，在（0，+∞）上恒有g'（x）≥0…（12分）
綜上可得：當a=0時，函數g（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減；
當$0＜a＜\frac{1}{2}$時，函數g（x）在（0，1）上單調遞增，
在$（{1，\frac{1}{2a}}）$上單調遞減，在$（{\frac{1}{2a}，+∞}）$上單調遞增；
當$a=\frac{1}{2}$時，函數g（x）在（0，+∞）上單調遞增；
當$a＞\frac{1}{2}$時，函數g（x）在$（{0，\frac{1}{2a}}）$上單調遞增，
在$（{\frac{1}{2a}，1}）$上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增．

點評 本題考查函數的導數的綜合應用，函數的切線方程以及函數的單調性，考查分類討論思想以及轉化思想的應用．