設函數(
),
.
(1) 若函數圖象上的點到直線
距離的最小值為
,求
的值;
(2) 關于的不等式
的解集中的整數恰有3個,求實數
的取值范圍;
(3) 對于函數與
定義域上的任意實數
,若存在常數
,使得
和
都成立,則稱直線
為函數
與
的“分界線”.設
,
,試探究
與
是否存在“分界線”?若存在,求出“分界線”的方程;若不存在,請說明理由.
解:(1)因為,所以
,令
得:,此時
, …………2分
則點到直線
的距離為
,
即,解之得
. …………4分
(2)解法一:不等式的解集中的整數恰有3個,
等價于恰有三個整數解,故
, …………6分
令,由
且
,
所以函數的一個零點在區(qū)間
,
則另一個零點一定在區(qū)間, …………8分
故解之得
. …………10分
解法二:恰有三個整數解,故
,即
,…………6分
,
所以,又因為
, …………8分
所以,解之得
. …………10分
(3)設,則
.
所以當時,
;當
時,
.
因此時,
取得最小值
,
則與
的圖象在
處有公共點
. …………12分
設與
存在 “分界線”,方程為
,
即,
由在
恒成立,則
在
恒成立
.
所以成立,
因此. …………14分
下面證明恒成立.
設,則
.
所以當時,
;當
時,
.
因此時
取得最大值
,則
成立.
故所求“分界線”方程為:. …………16分
科目:高中數學 來源: 題型:
x3 |
3 |
1 |
2 |
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