Question

已知拋物線C：y²=4x，過點A（-1，0）的直線交拋物線C于P、Q兩點，設(shè)

AP

=λ

AQ

．
（Ⅰ）若點P關(guān)于x軸的對稱點為M，求證：直線MQ經(jīng)過拋物線C的焦點F；
（Ⅱ）若λ∈[

1

3

，

1

2

]求當(dāng)|PQ|最大時，直線PQ的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出P和Q的坐標(biāo)，根據(jù)P和M關(guān)于x軸對稱表示出M的坐標(biāo)，利用設(shè)出的坐標(biāo)表示出

AP

和

AQ

，根據(jù)

AP

=λ

AQ

，化簡即可得到P和Q的橫坐標(biāo)，然后由拋物線的方程找出焦點F的坐標(biāo)，然后利用M，F(xiàn)和Q的坐標(biāo)表示出向量

MF

，利用剛才化簡的式子及求出的橫坐標(biāo)代入即可得到

MF

=λ

FQ

，所以得到直線MQ過F點；
（Ⅱ）由第一問求得的P和Q的橫坐標(biāo)相乘等于1，由y₁²-y₂²=16x₁x₂=16，y₁y₂＞0，得到y(tǒng)₁y₂的值，利用兩點間的距離公式表示出|PQ|²，然后把P和Q的橫坐標(biāo)及得到的y₁y₂的值及x₁x₂的值分別代入得到關(guān)于λ的關(guān)系式，配方后利用λ的范圍求出λ+

1

λ

的范圍，即可求出λ+

1

λ

的最大值，讓其等于最大值解出此時λ的值，把λ的值代入關(guān)于λ的關(guān)系式即可求出|PQ|²的最大值，即得到|PQ|最大值，并利用λ的值求出此時P和Q兩點的坐標(biāo)，根據(jù)兩點的坐標(biāo)即可寫出直線PQ的方程．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x₁，-y₁）
∵

AP

=λ

AQ

∴x₁+1=λ（x₂+1），y₁=λy₂，∴y₁²=λ²y₂²，y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，x₁=λ²x₂
∴λ²x₂+1=λ（x₂+1），λx₂（λ-1）=（λ-1）
∵λ≠1，∴x₂=

1

λ

，x₁=λ，
由拋物線C：y²=4x，得到F（1，0），
∴

MF

=（1-x₁，y₁）=（1-λ，λy₂）=λ（

1

λ

-1，y₂）=λ

FQ

，
∴直線MQ經(jīng)過拋物線C的焦點F；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知x₂=

1

λ

，x₁=λ，得x₁x₂=1，y₁²y₂²=16x₁x₂=16，y₁y₂＞0，y₁y₂=4，
則|PQ|²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=x₁²+x₂²+y₁²+y₂²-2（x₁x₂+y₁y₂）=（λ+

1

λ

）²+4（λ+

1

λ

）-12=（λ+

1

λ

+2）²-16
λ∈[

1

3

，

1

2

]，λ+

1

λ

∈[

5

2

，

10

3

]，
當(dāng)λ+

1

λ

=

10

3

，即λ=

1

3

時，|PQ|²有最大值

112

9

，則|PQ|的最大值為

4 7

3

，
此時Q（3，±2

3

），P（

1

3

，±

2 3

3

），
k_PQ=±

2 3 - 2 3 3

3- 1 3

=±

3

2

，
則直線PQ的方程為：

3

x±2y+

3

=0

點評：此題考查學(xué)生掌握拋物線的簡單性質(zhì)，會根據(jù)兩點的坐標(biāo)求直線的方程，會進行向量的運算，是一道中檔題．