Question

已知曲線C：f（x）=x²，C上的點(diǎn)A₀，A_n的橫坐標(biāo)分別為1和a_n（n∈N^*），且a₁=5，數(shù)列{x_n}滿足xn+1=t•f(xn-1)+1(t＞0且t≠

1

2

，t≠1)，設(shè)區(qū)間D_n=[1，a_n]（a_n＞1），當(dāng)x∈D_n時，曲線C上存在點(diǎn)P_n（x_n，f（x_n）），使得點(diǎn)P_n處的切線與直線A₀A_n平行．
（1）證明：{log_t（x_n-1）+1}是等比數(shù)列；
（2）當(dāng)D_n+1?D_n對一切n∈N^*恒成立時，求t的取值范圍；
（3）記數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，當(dāng)t=

1

4

時，試比較S_n與n+7的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）由線在點(diǎn)P_n的切線與直線AA_n平行，知xn=

an+1

2

，由x_n+1=tf（x_n+1-1）+1，得x_n+1-1=t（x_n-1）²，由此能夠證明{log_t（x_n-1）+1}是等比數(shù)列．
（2）由log_t（x_n-1）+1=（log_t2+1）•2^n-1，得xn=1+

1

t

(2t)2n-1．從而an=2xn-1=1+

2

t

(2t)2n-1，由D_n+1?D_n對一切n∈N^*恒成立，得a_n+1＜a_n，由此能求出t的取值范圍．
（3）當(dāng)t=

1

4

時，an=1+8×(

1

2

)2n-1，所以Sn=n+8[

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)4+…+(

1

2

)2n-1]，由此能夠比較比較S_n與n+7的大�。�

解答：解：（1）∵由線在點(diǎn)P_n的切線與直線AA_n平行，
∴2xn=

an2-1

an-1

，即xn=

an+1

2

，
由x_n+1=tf（x_n+1-1）+1，得x_n+1-1=t（x_n-1）²，
∴l(xiāng)og_t（x_n+1-1）=1+2log_t（x_n-1），
即log_t（x_n+1-1）+1=2[log_t（x_n-1）+1]，
∴{log_t（x_n-1）+1}是首項(xiàng)為log_t2+1，公比為2的等比數(shù)列．
（2）由（1）得log_t（x_n-1）+1=（log_t2+1）•2^n-1，
∴xn=1+

1

t

(2t)2n-1．
從而an=2xn-1=1+

2

t

(2t)2n-1，
由D_n+1?D_n對一切n∈N^*恒成立，
得a_n+1＜a_n，
即(2t)2n＜(2t)2n-1，
∴0＜2t＜1，
即0＜t＜

1

2

．
（3）當(dāng)t=

1

4

時，an=1+8×(

1

2

)2n-1，
∴Sn=n+8[

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)4+…+(

1

2

)2n-1]，
當(dāng)n≤3時，2^n-1≤n+1；
當(dāng)n≥4時，2^n-1＞n+1，
∴當(dāng)n≤3時，Sn≤n+8[

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)4]=n+

13

2

＜n+7．
當(dāng)n≥4時，S_n＜n+8[

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+(

1

2

)4+…+(

1

2

)n+1]
=n+7-(

1

2

)n-2
＜n+7．
綜上所述，對任意的n∈N^*，都有S_n＜n+7．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合運(yùn)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．