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【題目】已知函數f(x)=
(1)判斷函數f(x)在區(qū)間(0,1)和[1,+∞)上的單調性(不必證明);
(2)當0<a<b,且f(a)=f(b)時,求 的值;
(3)若存在實數a,b(1<a<b)使得x∈[a,b]時,f(x)的取值范圍是[ma,mb](m≠0),求實數m的取值范圍.

【答案】
(1)解:由函數f(x)的解析式可得,在(0,1)上,函數為減函數;

在[1,+∞)上函數為增函數.


(2)解:∵當0<a<b,且f(a)=f(b)時,∴ ﹣1=1﹣ ,

=2.


(3)若存在實數a,b(1<a<b)使得x∈[a,b]時,f(x)的取值范圍是[ma,mb](m≠0),

則函數f(x)在[a,b]上是增函數,故[a,b](1,+∞).

可得1﹣ =ma,1﹣ mb,故方程1﹣ =mx有2個大于1的不等實數根,

即mx2﹣x+1=0有2個大于1的不等實數根.

令h(x)=mx2﹣x+1,則有 ,求得0<m<


【解析】(1)根據函數的解析式判斷函數在區(qū)間(0,1)和[1,+∞)上的單調性.(2)由題意可得, ﹣1=1﹣ ,從而求得 的值.(3)由題意可得1﹣ =ma,1﹣ mb,故方程1﹣ =mx有2個大于1的不等實數根,即mx2﹣x+1=0有2個大于1的不等實數根.令h(x)=mx2﹣x+1,則由 求得m的范圍.
【考點精析】本題主要考查了函數單調性的性質的相關知識點,需要掌握函數的單調區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集才能正確解答此題.

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