Question

已知函數(shù)f（x）=-mx³+nx²的圖象在點（-1，2）處的切線恰好與直線3x+y=0平行，若f（x）在區(qū)間[t，t+1]上單調遞減，則實數(shù)t的取值范圍是（ ）
A．（-∞，-2]
B．（-∞，-1]
C．[-2，-1]
D．[-2，+∞）

Answer 1

【答案】分析：由f（x）=-mx³+nx²，知f′（x）=-3mx²+2nx，故f′（-1）=-3m-2n，函數(shù)f（x）=-mx³+nx²的圖象在點（-1，2）處的切線恰好與直線3x+y=0平行，知，解得m=-1，n=3，令f′（x）=3x²+6x≤0，解得-2≤x≤0，由函數(shù)f（x）在[-2，0]上單調遞減，能求出t的范圍．
解答：解：∵f（x）=-mx³+nx²，
∴f′（x）=-3mx²+2nx，
∴f′（-1）=-3m-2n，
∵函數(shù)f（x）=-mx³+nx²的圖象在點（-1，2）處的切線恰好與直線3x+y=0平行，
∴，解得m=-1，n=3，
∴f′（x）=3x²+6x，令f′（x）=3x²+6x≤0，解得-2≤x≤0，
∴函數(shù)f（x）在[-2，0]上單調遞減，
∵f（x）在區(qū)間[t，t+1]上單調遞減，
∴，解得-2≤t≤-1．
故選C．
點評：本題考查利用導數(shù)求曲線上某點處的切線方程的應用，具體涉及到導數(shù)的幾何意義、直線平行的條件、利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調等知識點，解題時要認真審題，仔細解答．