Question

已知⊙C₁：x²+（y+5）²=5，點(diǎn)A（1，-3）
（Ⅰ）求過點(diǎn)A與⊙C₁相切的直線l的方程；
（Ⅱ）設(shè)⊙C₂為⊙C₁關(guān)于直線l對(duì)稱的圓，則在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得P到兩圓的切線長之比為

2

？薦存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先判定點(diǎn)在圓上，用點(diǎn)斜式求切線l的方程．
（Ⅱ）求出對(duì)稱圓的方程，設(shè)x軸上P點(diǎn)坐標(biāo)，利用半徑和PC₂的距離，解出兩個(gè)切線長，再用切線長之比解出結(jié)果．

解答：解：（Ⅰ）C1(0，-5)，r1=

5

，
因?yàn)辄c(diǎn)A恰在⊙C₁上，所以點(diǎn)A即是切點(diǎn)，KC1A=

-3+5

1

=2，所以k1=-

1

2

，
所以，直線l的方程為y+3=-

1

2

(x-1)，即x+2y+5=0；
（Ⅱ）因?yàn)辄c(diǎn)A恰為C₁C₂中點(diǎn)，所以，C₂（2，-1），
所以，⊙C₂：（x-2）²+（y+1）²=5，
設(shè)P(a，0)，

P C 2 1 -5

P C 2 2 -5

=2①，或

P C 2 2 -5

P C 2 1 -5

=2②，
由①得，

a2+20

(a-2)2-4

=2，解得a=-2或10，所以，P(-2，0)或(10，0)，
由②得，

a2-4a

a2+20

=2，求此方程無解．
綜上，存在兩點(diǎn)P（-2，0）或P（10，0）適合題意．

點(diǎn)評(píng)：本題（Ⅰ）A點(diǎn)的判定；（Ⅱ）中直角三角形的應(yīng)用，對(duì)稱性，弦長等知識(shí)的考查，都為本題增加了難度．