Question

已知數(shù)列a_n是首項為1，公比為q（q＞0）的等比數(shù)列，并且2a1，

1

2

a3，a2成等差數(shù)列．
（I）求q的值
（II）若數(shù)列b_n滿足b_n=a_n+n，求數(shù)列b_n的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（I）直接利用已知條件整理得到關(guān)于公比的等式，解之即可求出公比；
（II）利用求出的公比，先求出兩個數(shù)列的通項公式，再對數(shù)列{b_n}采用分組求和即可．

解答：解：（I）由條件得a₃=2a₁+a₂：
得q²=2+q，
∴q=2或q=-1（舍），
∴q=2．
（II）∵a_n=2^n-1，
∴b_n=2^n-1+n．
∴T_n=（1+2+3+…+n）+（1+2¹+2²+…+2^n-1）
=

n(n+1)

2

+2ⁿ-1．

點評：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識，考查方程思想在解決數(shù)列問題中的應(yīng)用以及等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項和公式的應(yīng)用．主要考查學(xué)生的運算能力．