Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且對(duì)任意正整數(shù)n，有S_n，

a

2(a-1)

an，n（其中a≠0，a≠1）成等差數(shù)列，令b_n=（a_n+1）lg（a_n+1）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n（用a，n表示）；
（2）當(dāng)a=

8

9

時(shí)，數(shù)列{b_n}是否存在最小項(xiàng)，若存在，請(qǐng)求出第幾項(xiàng)最�。蝗舨淮嬖�，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由S_n，

a

2(a-1)

an，n成等差數(shù)列得到數(shù)列{a_n}的遞推式，取n=n+1得另一遞推式，兩式作差后即可得到數(shù)列{a_n+1}是以a為公比的等比數(shù)列，求出其通項(xiàng)公式后可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）把（1）中求得的a_n代入b_n=（a_n+1）lg（a_n+1），再把a=

8

9

代入得到數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，作差后根據(jù)n的不同取值得到差式的不同符號(hào)，由此判斷數(shù)列{b_n}中存在最小項(xiàng)且第8項(xiàng)和第9項(xiàng)最小．

解答： 解：（1）由題意得

a

a-1

an=Sn+n  ①
∴

a

a-1

an+1=Sn+1+n+1  ②
②-①得，

1

a-1

an+1=

a

a-1

an+1，
即a_n+1+1=a（a_n+1），
∴{a_n+1}是以a為公比的等比數(shù)列．
則an+1=(a1+1)an-1，
又

a

a-1

a1=a1+1，
∴a₁=a-1，
∴an=an-1；
（2）∵an=an-1，
由b_n=（a_n+1）lg（a_n+1）．
∴bn=nanlga．
當(dāng)a=

8

9

時(shí)，
bn=n(

8

9

)nlg

8

9

，
∴bn+1-bn=

8-n

9

•(

8

9

)n•lg

8

9

．
當(dāng)n＜8時(shí)，b_n+1-b_n＜0，即b_n+1＜b_n，
∴b₁＞b₂＞…＞b₈，
當(dāng)n=8時(shí)，b_n+1-b_n=0，即b_n+1=b_n，b₈=b₉，
當(dāng)n＞8時(shí)，b_n+1-b_n＞0，即b_n+1＞b_n，
∴b₉＜b₁₀＜…，
∴存在最小項(xiàng)且第8項(xiàng)和第9項(xiàng)最�。�

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，訓(xùn)練了作差法比較兩個(gè)數(shù)的大小，是中檔題．