Question

若f（x）是二次函數(shù)，且滿足f（0）=1，f（x+1）-f（x）=2x，
（1）求f（x）的解析式；
（2）函數(shù)y=f（x+a）在區(qū)間[-1，3]上不單調(diào)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由f（0）=1和f（x+1）-f（x）=2x求得a、b、c的值，從而求得f（x）的解析式．
（2）由于y=f（x+a） 在[-1，3]不單調(diào)，可得對稱軸在區(qū)間[-1，3]內(nèi)，從而求得a的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
∵f（0）=1，∴c=1，
∴f（x）=ax²+bx+1．
∵f（x+1）-f（x）=2x，
∴a（x+1）²+b（x+1）+1-（ax²+bx+1）=2ax+a+b=2x，
∴

2a=2 a+b=0

，
∴a=1，b=-1，
∴f（x）=x²-x+1．
（2）∵y=f（x+a）=（x+a）²-（x+a）+1=x²+（2a-1）x+a²-a+1 在[-1，3]不單調(diào)，
∴二次函數(shù)f（x）的對稱軸x=-a+

1

2

在區(qū)間[-1，3]內(nèi)，
∴-1＜-a+

1

2

＜3，
∴-

5

2

＜a＜

3

2

，
∴k的取值范圍為{a|-

5

2

＜a＜

3

2

}．

點評：本題考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．