若f(x)是二次函數(shù),且滿足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,
(1)求f(x)的解析式;
(2)函數(shù)y=f(x+a)在區(qū)間[-1,3]上不單調(diào),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
分析:(1)設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=1和f(x+1)-f(x)=2x求得a、b、c的值,從而求得f(x)的解析式.
(2)由于y=f(x+a) 在[-1,3]不單調(diào),可得對稱軸在區(qū)間[-1,3]內(nèi),從而求得a的取值范圍.
解答:解:(1)設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
∵f(0)=1,∴c=1,
∴f(x)=ax2+bx+1.
∵f(x+1)-f(x)=2x,
∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2ax+a+b=2x,
2a=2
a+b=0
,
∴a=1,b=-1,
∴f(x)=x2-x+1.
(2)∵y=f(x+a)=(x+a)2-(x+a)+1=x2+(2a-1)x+a2-a+1 在[-1,3]不單調(diào),
∴二次函數(shù)f(x)的對稱軸x=-a+
1
2
在區(qū)間[-1,3]內(nèi),
∴-1<-a+
1
2
<3,
∴-
5
2
<a<
3
2
,
∴k的取值范圍為{a|-
5
2
<a<
3
2
}.
點(diǎn)評:本題考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用問題,是基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)是二次函數(shù),當(dāng)x=±1時,f(x)有極值,且極大值為2,f(2)=-2.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若函數(shù)y=|f(x)-k|-1有兩個零點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
(3)設(shè)函數(shù)h(x)=2x2+(1-t)x,g(x)=[
f(x)-2xx
+h(x)]e-x
,若存在實(shí)數(shù)a,b,c∈[0,1],使得g(a)+g(b)<g(c),求t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)y=f(x)是二次函數(shù),方程f(x)=0有兩個相等的實(shí)根,且f′(x)=2x+2.
(1)求y=f(x)的表達(dá)式;
(2)求y=f(x)的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積;
(3)若直線x=-t(0<t<1)把y=f(x)的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積二等分,求t的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)是二次函數(shù),且滿足f(1+x)=f(1-x),若f(2)>f(1),那么f(π)、f(-
3
2
)
、f(3)按由小到大的次序?yàn)?!--BA-->
f(3)<f(π)<f(-
3
2
)
f(3)<f(π)<f(-
3
2
)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

求下列函數(shù)的解析式:
(1)已知f(x)是二次函數(shù),若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1.求f(x).
(2)設(shè)f(x)滿足f(x)-2f(
1x
)=x
,求f(x).

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