Question

在軸同側的兩個圓：動圓和圓外切（），且動圓與軸相切，求

（1）動圓的圓心軌跡方程L;

（2）若直線與曲線L有且僅有一個公共點，求之值。

Answer 1

⑴,動圓圓心的軌跡是以為焦點，為準線，且頂點在點（不包含該點）的拋物線，得軌跡方程

⑵   

解析:

（1）由可得

由N，以及兩圓在軸同側，可知動圓圓心在軸上方，設動圓圓心坐標為, 則有

整理得到動圓圓心軌跡方程  。  ……………………（5分）

另解  由已知可得，動圓圓心的軌跡是以為焦點，為準線，且頂點在點（不包含該點）的拋物線，得軌跡方程

，即…………………（5分）

（2）聯(lián)立方程組                ①

                      ②

消去得     ，

由 整理得

                          ③

從③可知 。 故令，代入③可得

 再令，代入上式得

                         …………………（10分）

同理可得，。可令代入③可得

               ④

對④進行配方，得  

對此式進行奇偶分析，可知均為偶數，所以為8的倍數，所以。令，則 。

所以               …………………………………（15分）

僅當時，為完全平方數。于是解得

        。 …………………（20分）