定義F(x，y)＝(1＋x)y，x，y∈(0，＋∞)．

(1)令函數(shù)f(x)＝F(1，log2(x3＋ax2＋bx＋1))的圖象為曲線C，若存在實數(shù)b使得曲線C在x0(－4＜x0＜－1)處有斜率為－8的切線，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)令函數(shù)g(x)＝F(1，log2[(lnx－1)ex＋x])，是否存在實數(shù)x0∈[1，e]，使曲線y＝g(x)在點x＝x0處的切線與y軸垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，請說明理由；

(3)當x，y∈N*，且x＜y時，求證：F(x，y)＞F(y，x)．

答案：
解析：

　　(1)f(x)＝F(1，log2(x3＋ax2＋bx＋1))＝x3＋ax2＋bx＋1，設(shè)曲線C在x0(－4＜x0＜－1)處有斜率為－8的切線，

　　又由題設(shè)知log2(x3＋ax2＋bx＋1)＞0，令(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，則(x)＝3x2＋2ax＋b，

　　∴存在實數(shù)b使得有解．　3分

　　由①得b＝－8－3x02－2ax0，代入③得－2x02－ax0－8＜0，

　　∴由有解，

　　得2×(－4)2＋a×(－4)＋8＞0或2×(－1)2＋a×(－1)＋8＞0，

　　∴a＜10或a＜10，∴a＜10．　5分

　　(2)∵g(x)＝(lnx－1)ex＋x，

　　∴

　　．……6分

　　設(shè)，則．

　　當x∈[1，e]時，h′(x)≥0，h(x)為增函數(shù)，

　　因此h(x)在區(qū)間[1，e]上的最小值為ln1＝0，即；

　　當x0∈[1，e]時，≥e＞0，＋lnx0－1≥0，

　　∴．　8分

　　曲線y＝g(x)在點x＝x0處的切線與y軸垂直等價于方程(x0)＝0有實數(shù)解．

　　而(x0)＞0，即方程(x0)＝0無實數(shù)解．

　　故不存在實數(shù)x0∈[1，e]，使曲線y＝g(x)在點x＝x0處的切線與y軸垂直．　9分

　　(3)令，由．

　　又令，∴，

　　∴p(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，∴當x＞0時，有p(x)＜p(0)＝0，

　　∴當x≥1時，有(x)＜0，∴h(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞減，

　　∴當1≤x＜y時，有，

　　∴yln(1＋x)＞xln(1＋y)，∴(1＋x)y＞(1＋y)x，

　　∴當x，y∈N*，且x＜y時，F(xiàn)(x，y)＞F(y，x)．　13分


練習(xí)冊系列答案
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定義F(x，y)＝(1＋x)y，x，y∈(0，＋∞)，

(Ⅰ)令函數(shù)f(x)＝F(1，log2(x2－4x＋9))的圖象為曲線C1，曲線C1與y軸交于點A(0，m)，過坐標原點O向曲線C1作切線，切點為B(n，t)(n＞0)，設(shè)曲線C1在點A、B之間的曲線段與線段OA、OB所圍成圖形的面積為S，求S的值；

(Ⅱ)令函數(shù)g(x)＝F(1，log2(x3＋ax2＋bx＋1))的圖象為曲線C2，若存在實數(shù)b使得曲線C2在x0(－4＜x0＜－1)處有斜率為－8的切線，求實數(shù)a的取值范圍；

(Ⅲ)當且x＜y時，證明F(x，y)＞F(y，x)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

f(x)是定義在R上的函數(shù)，對x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且當x>0時，f(x)<0，f(－1)＝2.

(1)求證：f(x)為奇函數(shù)；

(2)求證：f(x)是R上的減函數(shù)；

(3)求f(x)在[－2,4]上的最值．

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若定義在正整數(shù)有序?qū)仙系亩瘮?shù)f滿足：

①f(x，x)＝x，②f(x，y)＝f(y，x)，③(x＋y)·f(x，y)＝y·f(x，x＋y)，則f(12,16)的值是________．

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