若函數(shù)f(x)=sin2ax-sinaxcosax(a>0)的圖象與直線y=m(m為常數(shù))相切,并且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次成公差為
π
2
的等差數(shù)列.
(1)求m的值;
(2)若點(diǎn)A(x0,y0)是y=f(x)的圖象的對稱中心,且x0∈[0,
4
]
,求點(diǎn)A的坐標(biāo).
分析:(1)利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)f(x)為
1
2
-
2
2
sin(2ax+
π
4
)
,根據(jù)m是函數(shù)f(x)的最大值或最小值求出m的值.
(2)根據(jù)周期性求出a=2,令
4x0+
π
4
=kπ
y0=
1
2
(k∈Z)
,由x0 的范圍求出 k=1,2,3,由此求得點(diǎn)A的坐標(biāo).
解答:解:(1)函數(shù)f(x)=sin2ax-sinaxcosax=
1+cos2ax
2
-
1
2
sin2ax
 
=
1
2
-
2
2
sin(2ax+
π
4
)
.…(3分)
依題意知 m是函數(shù)f(x)的最大值或最小值,故 m=
1
2
±
2
2
.…(6分)
(2)∵切點(diǎn)的橫坐標(biāo)成公差為
π
2
的等差數(shù)列,
T=
2a
=
π
2
,故a=2.…(8分)
4x0+
π
4
=kπ
y0=
1
2
(k∈Z)
,且 x0=
4
-
π
16
∈[0,
4
]
,又 k=1,2,3.…(11分)
故點(diǎn)A的坐標(biāo)為(
16
,
1
2
)
(
16
,
1
2
)
(
11π
16
,
1
2
)
.…(12分)
點(diǎn)評:本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值,正弦函數(shù)的對稱性,屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若函數(shù)f(x)=sin2(x+
π
4
)-
1
2
,則函數(shù)f(x)是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)|φ|<
π
4
,函數(shù)f(x)=sin2(x+φ).若f(
π
4
)=
3
4
,則φ等于(  )
A、-
π
12
B、-
π
6
C、
π
12
D、
π
6

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sin2
x
2
+
π
12
)+
3
sin(
x
2
+
π
12
)cos(
x
2
+
π
12
)一
1
2

(1)在△ABC中,若sinC=2sinA,B為銳角且有f(B)=
3
2
,求角A,B,C;
(2)若f(x)(x>0)的圖象與直線y=
1
2
交點(diǎn)的橫坐標(biāo)由小到大依次是x1,x2,…,xn,求數(shù)列{xn}的前2n項(xiàng)和,n∈N*

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年浙江省杭州市蕭山區(qū)五校聯(lián)考高一(下)期中數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題

若函數(shù)f(x)=sin2(x+)-,則函數(shù)f(x)是( )
A.周期為π的偶函數(shù)
B.周期為2π的偶函數(shù)
C.周期為2π的奇函數(shù)
D.周期為π的奇函數(shù)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

若函數(shù)f(x)=sin2(x+
π
4
)-
1
2
,則函數(shù)f(x)是( 。
A.周期為π的偶函數(shù)B.周期為2π的偶函數(shù)
C.周期為2π的奇函數(shù)D.周期為π的奇函數(shù)

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