在平面直角坐標系中,O為坐標原點,已知兩點M(1,-3),N(5,1),若動點C滿足數(shù)學公式=t數(shù)學公式且點C的軌跡與拋物線y2=4x交于A,B兩點.
(1)求證:數(shù)學公式數(shù)學公式;
(2)在x軸上是否存在一點P(m,0)(m≠0),使得過點P的直線l交拋物線y2=4x于D,E兩點,并以線段DE為直徑的圓都過原點.若存在,請求出m的值及圓心M的軌跡方程;若不存在,請說明理由.

解:(1)由動點C滿足=t,知點C的軌跡是M、N兩點所在的直線,
又因為直線MN的方程為x-y-4=0
∴點C的軌跡方程為x-y-4=0
設A(x1,y1),B(x2,y2
得:
x2-12x+16=0
∴x1•x2=16,x1+x2=12
又y1•y2=(x1-4)•(x2-4)=-16
∴x1•x2+y1•y2=0
;
(2)假設存在P(m,0)(m≠0),使得過點P的直線l交拋物線y2=4x 于D,E兩點,并以線段DE為直徑的圓都過原點,
由題意知:弦所在的直線的斜率不為零.故設弦所在的直線方程為:x=ky+m,
代入 y2=4x 得 y2-4ky-4m=0,設D(x1,y1),E(x2,y2
∴y1+y2=4k,y1y2=-4m.
若以弦DE為直徑的圓都過原點,則OD⊥OE,∴x1x2+y1y2=0.
=m2-4m,解得m=0 (不合題意,舍去)或 m=4.
∴存在點P(4,0),使得過P點任作拋物線的一條弦,以該弦為直徑的圓都過原點.
設弦D,E的中點為M(x,y)
則x=(x1+x2),y=( y1+y2)=2k,
x1+x2=ky1+4+ky2+4=k(y1+y2)+8=4k2+8,
∴x=2k2+4,y=2k,
∴消去k得弦D,E的中點M的軌跡方程為:y2=2x-8.
∴圓心的軌跡方程為y2=2x-8.
分析:(1)欲證兩向量垂直,通過向量的坐標運算,就是證明它們的數(shù)量積為0,將直線與拋物線的方程組成方程組,利用設而不求的方法求解;
(2)對于存在性問題,可設假設存在,本題中將垂直關系合理轉(zhuǎn)化,找出m的一個相等關系,從而解出了m的值,即說明存在.
點評:本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題及存在性問題.對于存在判斷型問題,解題的策略一般為先假設存在,然后轉(zhuǎn)化為“封閉型”問題求解判斷,若不出現(xiàn)矛盾,則肯定存在;若出現(xiàn)矛盾,則否定存在.這是一種最常用也是最基本的方法,解圓錐曲線的中點弦問題的一般方法是:聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程,借助于一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關系、中點坐標公式及參數(shù)法求解.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在平面直角坐標系xOy中,以O為極點,x正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為:pcos(θ-
π3
)=1
,M,N分別為曲線C與x軸,y軸的交點,則MN的中點P在平面直角坐標系中的坐標為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在平面直角坐標系中,A(3,0)、B(0,3)、C(cosθ,sinθ),θ∈(
π
2
,
2
)
,且|
AC
|=|
BC
|

(1)求角θ的值;
(2)設α>0,0<β<
π
2
,且α+β=
2
3
θ
,求y=2-sin2α-cos2β的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在平面直角坐標系中,如果x與y都是整數(shù),就稱點(x,y)為整點,下列命題中正確的是
 
(寫出所有正確命題的編號).
①存在這樣的直線,既不與坐標軸平行又不經(jīng)過任何整點
②如果k與b都是無理數(shù),則直線y=kx+b不經(jīng)過任何整點
③直線l經(jīng)過無窮多個整點,當且僅當l經(jīng)過兩個不同的整點
④直線y=kx+b經(jīng)過無窮多個整點的充分必要條件是:k與b都是有理數(shù)
⑤存在恰經(jīng)過一個整點的直線.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在平面直角坐標系中,下列函數(shù)圖象關于原點對稱的是( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在平面直角坐標系中,以點(1,0)為圓心,r為半徑作圓,依次與拋物線y2=x交于A、B、C、D四點,若AC與BD的交點F恰好為拋物線的焦點,則r=
 

查看答案和解析>>

同步練習冊答案