Question

設a，b∈R且a≠2，函數f(x)=lg

1+ax

1+2x

在區(qū)間（-b，b）上是奇函數．
（Ⅰ）求ab的取值集合；
（Ⅱ）討論函數f（x）在 （-b，b）上的單調性．

Answer 1

分析：（I）根據奇函數的定義，由f（-x）+f（x）=0結合對數的運算性質，可得a的值，根據函數的解析式，分析使式子有意義的x的范圍，進而可得b的取值范圍，進而得到ab的取值集合；
（Ⅱ）任取x₁，x₂∈（-b，b），且x₁＜x₂，分析出f（x₂）與f（x₁）的大小，進而根據函數單調性的定義，判斷出函數f（x）在 （-b，b）上的單調性

解答：解：（I）函數f(x)=lg

1+ax

1+2x

在區(qū)間（-b，b）內是奇函數
∴對任意x∈（-b，b）都有f（-x）+f（x）=0，
∴lg

1-ax

1-2x

+lg

1+ax

1+2x

=lg

1-a2x2

1-4x2

=0
即

1-a2x2

1-4x2

=1
即a²x²=4x²，此式對任意x∈（-b，b）都成立
∴a²=4
又∵a≠2，∴a=-2
代入

1+ax

1+2x

，得

1-2x

1+2x

＞0，即-

1

2

＜x＜

1

2

此式對任意x∈（-b，b）都成立，相當于-

1

2

＜-b＜b＜

1

2

所以b的取值范圍是（0，

1

2

]
∴ab的取值集合為[-1，0）
（II）設任意的x₁，x₂∈（-b，b），且x₁＜x₂，由b∈（0，

1

2

]得
所以0＜1-2x₂＜1-2x₁，0＜1+2x₁＜1+2x₂
從而f（x₂）-f（x₁）=lg

1-2x2

1+2x2

-lg

1-2x1

1+2x1

=lg

(1-2x2)(1+2x1)

(1+2x2)(1-2x1)

＜lg1=0
∴f（x₂）＜f（x₁）
因此f（x）在（-b，b）內是減函數?

點評：本題考查的知識點是函數的奇偶性與函數的單調性，其中根據已知求出a值，進而確定函數的解析式，是解答的關鍵．