Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁=2，前n項(xiàng)和為S_n，且對任意的n∈N^*，當(dāng)n≥2，時(shí)，a_n總是3S_n-4與2-

5

2

Sn-1的等差中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=（n+1）a_n，T_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，n∈N^*，求T_n．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)a_n是3S_n-4與2-

5

2

Sn-1的等差中項(xiàng)，找到a_n，S_n的關(guān)系式，再根據(jù)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，即可求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）先把（1）中求出的數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，代入b_n=（n+1）a_n，求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

解答：解：（1）∵2an=(3Sn-4)+(2-

5

2

Sn-1)(n≥2)
∴2an=3Sn-

5

2

Sn-1-2，(n≥2)∴2an=

5

2

an+

1

2

Sn-2，(n≥2)
∴a_n+S_n-4=0，（n≥2）∴當(dāng)n≥3時(shí)，a_n-1+S_n-1-4=0
∴a_n-a_n-1+a_n=0即2a_n=a_n-1，（n≥3）
又a₂+S₂-4=0∴a₂=1．∴

a2

a1

=

1

2

&∴ an an-1 = 1 2 (n≥2)

∴an=2•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n-2
（2）∵bn=(n+1)•(

1

2

)n-2∴Tn=2x(

1

2

)-1+3x(

1

2

)0+4×(

1

2

)+4×(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n-3+(n+1)•(

1

2

)n-2…①

1

2

Tn=2×(

1

2

)0+3×(

1

2

)+4×(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n-2+(n+1)•(

1

2

)n-1…②
①-②得：

1

2

Tn=2×(

1

2

)-1+(

1

2

)0+(

1

2

)+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-2-(n+1)(

1

2

)n-1=4+

1-( 1 2 )n-1

1- 1 2

-(n+1)•(

1

2

)n-1=6-(n+3)×(

1

2

)n-1∴Tn=12-(n+3)×(

1

2

)n-2．

點(diǎn)評：本題主要考查了數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系，以及錯(cuò)位相減求和．