Question

已知圓C和y軸相切，圓心在直線x-3y=0上，且被直線y=x截得的弦長為
（1）求圓C的方程．
（2）若圓心在第一象限，求過點（6，5）且與該圓相切的直線方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由圓心在直線x-3y=0上，設(shè)出圓心坐標，再根據(jù)圓與y軸相切，得到圓心到y(tǒng)軸的距離即圓心橫坐標的絕對值等于圓的半徑，表示出半徑r，然后過圓心作出弦的垂線，根據(jù)垂徑定理得到垂足為弦的中點，利用點到直線的距離公式求出圓心到直線y=x的距離d，由弦長的一半，圓的半徑r及表示出的d利用勾股定理列出關(guān)于t的方程，求出方程的解得到t的值，從而得到圓心坐標和半徑，根據(jù)圓心和半徑寫出圓的方程即可．
（2）圓心在第一象限的圓是（x-3）²+（y-1）²=9，設(shè)過點（6，5）且與該圓相切的直線方程為y-5=k（x-6），即kx-y+5-6k=0，由圓心O（3，1），半徑r=3，知，由此能求出切線方程．
解答：解：（1）設(shè)圓心為（3t，t），半徑為r=|3t|，
則圓心到直線y=x的距離 ，
而 ，
∴（x-3）²+（y-1）²=9或（x+3）²+（y+1）²=9．
（2）圓心在第一象限的圓是（x-3）²+（y-1）²=9，
設(shè)過點（6，5）且與該圓相切的直線方程為y-5=k（x-6），即kx-y+5-6k=0，
∵圓心O（3，1），半徑r=3，
∴，
解得k=．
∴當切線的斜率k存在時，其方程為y-5=（x-6），
即7x-24y+78=0．
當切線的斜率k不存在時，其方程為x=6．
故切線方程為7x-24y+78=0，或x=6．
點評：第（1）題綜合考查了垂徑定理，勾股定理及點到直線的距離公式．根據(jù)題意設(shè)出圓心坐標，找出圓的半徑是解本題的關(guān)鍵．第（2）考查了圓的切線方程的求法，易錯點是當切線的斜率不存在時，容易丟解．